线性代数---第五章 相似矩阵与二次型 5.3 相似矩阵.pdfVIP

第五章 相似矩阵与二次型 §5.3 相似矩阵 一、方阵的相似 二、方阵可对角化的条件 三、小结 第五章 相似矩阵与二次型 一、相似矩阵与相似变换的概念 定义5.3.1 设A, B 都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P , 使 P 1AP B, 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P 1AP 称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵. 第五章 相似矩阵与二次型 相似矩阵与相似变换的性质 1. 等价关系 (1) 自反性A 与A 本身相似； (2)对称性 A 与B相似，则B与A 相似； (3)传递性 A 与B相似，B与C相似，则A 与C相似. 2. P 1 (A A )P (P 1A P )(P 1A P ). 1 2 1 2 m m   3. 若A与B相似,则A 与B 相似m为正整数. 4. P 1 (k A k A )P k P 1A P k P 1A P 1 1 2 2 1 1 2 2 其中k , k 是任意常数. 1 2 第五章 相似矩阵与二次型 定理5.3.1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同. 证明 A与B相似可逆阵P , 使得P 1AP B 1 1  B E P AP P E P 1  P A E P P 1 A E P A E . 第五章 相似矩阵与二次型 推论1 若n阶方阵与对角阵 1       2         n  相似, 则 ,  , ,  即是A的n个特征值. 1 2 n 推论2 若n阶方阵A 与B相似，则Tr(A)=Tr(B). 一般地，方阵A 与对角阵相似，我们就称方阵A 可 对角化. 第五章 相似矩阵与二次型 二、方阵可对角化的条件 定理5.3.2 n阶方阵A可对角化的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量. 证明 假设存在可逆阵P , 使P 1AP 为对角阵,