线性代数---第五章 相似矩阵与二次型 5.2 方阵的特征值与特征向量.pdfVIP

第五章 相似矩阵与二次型 §5.2 方阵的特征值与特征向量 一、方阵的特征值与特征向量的概念 二、方阵的特征值与特征向量的性质 三、方阵的特征值与特征向量的求法 第五章 相似矩阵与二次型 一、方阵的特征值与特征向量的概念 定义5.2.1 设A 是n 阶矩阵，若存在实数和非零向 x 量 , 使 Ax x 成立，则称数为方阵A 的特征 得 值，非零向量x称为A的对应于特征值的特征向量. 说明：1. 一个特征向量只能属于一个特征值， 但是一个特征值可能有多个特征向量； 2. n阶方阵A的特征值, 就是使齐次线性方程组 (A E )x 0 有非零解的值, 即满足方程A E 0的都是矩阵A的特征值. 第五章 相似矩阵与二次型 由定义5.2.1得A E 0 a  a  a 11 12 1n a a   a 21 22 2n  0     a a  a  n1 n 2 nn 称以为未知数的一元n次方程 A E 0 为方阵A的特征方程, 记f A () A E ,它是的n 次多项式, 称其为方阵A的特征多项式. 第五章 相似矩阵与二次型 3. 设n 阶方阵A (a ) 的特征值为 ,  , , ij 1 2  , 则有 n (1)    a a a ; 1 2 n 11 22 nn (2)    A . 1 2 n 通常称a11 a22 ann为矩阵A的迹，记作Tr( A), 即 Tr(A) a11 a 22 ann 第五章 相似矩阵与二次型  3 1 例1 求方阵A  的特征值和特征向量 1 3  解：A 的特征多项式为 3  1 A E (4 )(2 ) 1 3  A的特征