线性代数---第五章 相似矩阵与二次型 5.5 二次型及其标准形.pdfVIP

第五章 相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形 一、二次型的概念 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 四、二次型的秩 五、小结 思考题 第五章 相似矩阵与二次型 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 ax2 2bxy cy2 d (5 9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度θ，做旋转变换   x x cosy sin,    y x siny cos,  第五章 相似矩阵与二次型 把方程(5-9)化成标准方程 2 2   a x c y d (5 10) (5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项.我们把该问题推广到一般情况，从而建 立起二次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的 应用，它是线性代数的重要内容之一.其中心问题是 讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化 成平方和的形式. 第五章 相似矩阵与二次型 一、二次型的概念 定义5.5.1 含有n个变量x , x , , x 的二次齐次多项式 1 2 n f x ,x , ,x  a x 2 2a x x 2a x x 1 2 n 11 1 12 1 2 1n 1 n a x2 2a x x a x2 (5 11) 22 2 2n 2 n nn n 称为二次型. 当a 是复数时, f 称为复二次型; ij 当a 是实数时, f 称为实二次型. ij 第五章 相似矩阵与二次型 例如 x 2 x x 3x x 2x 2 4x x 3x 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 ix x 5x2 (3 i )x x  2x x 1 2 2 2 3 1 4 都为二次型；我们下面讨论的二次型均为实二次型. 设由y , y , , y 到变量x ,x , ,x 的线性变换为 1 2 n 1 2 n x1 c11 y1 c12 y 2 c1n yn ,  x2 c21 y1 c22 y2 c2n y