【附解析】浙江省三门县珠岙中学九年级数学下册专题十九 解直角三角形中的数学思想同步测试 新人教版.docVIP

解直角三角形中的数学思想 一　方程思想 (教材活动2利用测角仪测量塔高) (1)在塔前的平地上选择一点A用活动1中制作的测角仪测出你看塔顶的仰角α(图1)； (2)在A点和塔之间选择一点B测出你由B点看塔顶的仰角β； (3)量出A两点间的距离； (4)计算塔的高度． 图1 解：设AB＝m测角仪的高度为h则塔的高度为＋h. 【思想方法】 运用锐角三角函数的概念得到边角之间的关系然后再利用锐角三角函数的知识构造方程求解这是解直角三角形的应用中常见的方法． 图2 　如图2线段AB分别表示甲、乙两建筑物的高垂足分别为B从B点测得D点的仰角α为60从A点测得D点的仰角β为30已知甲建筑物的高度AB＝34米求甲、乙两建筑物之间的距离BC和乙建筑物的高度DC.(结果保留根号) 解：作AE⊥DC于E ∴四边形ABCE为矩形 ＝AB＝34＝AE 设DE＝x米 在中＝ ∴AE＝米 在中＝ ∴＝ 解得＝17∴BC＝＝17米＝(x＋34)米＝(17＋34)米＝51米． 　“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷的著名景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45此时他们刚好与“香底”D在同一水平线上然后沿着坡度为30的斜坡正对着“一炷香”前行110米到达B处测得“香顶”N的仰角为60。根据以上条件求出“一炷香”的高度．(测角器的高度忽略不计结果精确到1米参考数据：≈1.732)． 图3 解：过点B分别作BC⊥AD垂足分别为C。设BE＝x在中＝90＝30 ∴BC＝＝55 AC＝＝55＝55＋x。在NBE中＝90＝60＝＝即NE＝＝＋55。∵在中＝90＝45＝DN＋x＝＋55解得x＝55。∴DN＝55＋55≈150(米)。 答：“一炷香”的高度约为150米。 　A两市相距150千米分别从A处测得国家级风景区中心C处的方位角如图4所示风景区区域是以C为圆心千米为半径的圆＝1.627＝1.373.为了开发旅游有关部门设计修建连接A两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区请说明理由． 图4 解：AB不穿过风景区． 如图过C作CD⊥AB于D ∴AD＝CD·；BD＝CD· 由AD＋BD＝AB得CD·＋CD·＝AB. ＝＝＝＝50(千米)． ＝50＞45高速公路AB不穿过风景区． 二　转化思想 (教材例4) 如图5热气球的探测器显示从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30看这栋高楼底部的俯角为60热气球与高楼的水平距离为120 这栋高楼有多高(结果保留小数点后一位)? 图5 解如题图＝30＝60＝120. ＝＝ ∴BD＝AD·＝120×＝120×＝40 CD＝AD·＝120×＝120×＝120 ∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160 答：这栋楼高约为277.1 【思想方法】 转化与化归的思想就是研究和解决有关直角三角形的边角关系问题时借助直角三角形的性质将已知条件或问题通过变换加以转化进而达到解决问题的目的这种等价转化总是将抽象转化为具体复杂转化为简单未知转化为已知通过变换迅速而合理地寻找和选择解决问题的途径和方法． 　[2012·广安]如图6年4月11日中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业中国海监船在A地侦察发现在南偏东60方向的B地有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时地位于中国海监船的南偏东45方向10海里处中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民能不能及时赶到？(参考数据：≈1.73，≈2.45) 图6 解：过点A作AD⊥BC的延长线于点D ∵∠CAD＝45＝10海里 ∴△ACD是等腰直角三角形 AD＝CD＝ ＝ ＝5(海里)． 在中＝60 ∴BD＝AD·＝5 × ＝5(海里)， ∴BC＝BD－CD＝(5－5)海里． 中国海监船以每小时30海里的速度航行某国军舰以每小时13海里的速度航行 ∴海监船到达C地所用的时间t＝＝(时) 某国军舰到达C地所用的时间t＝＝(时)． ＜0.4中国海监船能及时赶到． 　如图7某测量船位于海岛P的北偏西60方向距离海岛100海里的A处它沿正南方向航行一段时间后达到位于海岛P的西南方向上的B处求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)． 图7 解：过点P作PC⊥AB于点C. 在中＝60＝100 ∴∠APC＝90－∠A＝30 ∴AC＝＝50＝＝50 在中＝45 ∴BC＝PC＝50 ∴AB＝AC＋BC＝50(1＋)(海里)． 图8 　如图8某大楼的顶部竖有一块广告牌CD小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45已知山坡AB的坡度比为i＝1∶＝10米＝15米． (i＝1︰是指坡面的竖直高度BH与水平宽度AH的比) (1)求点B距水平面AE的高度BH； (2)求广告牌CD的高度．