2018年高中数学 第二章 函数 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法学案 新人教B版必修1.docVIP

2.4.2　求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 1．了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在．(重点) 2．会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤．(难点) [基础·初探] 教材整理1　变号零点与不变号零点 阅读教材P72～P73“第一行”以上部分内容，完成下列问题． 1．零点存在的判定 条件：y＝f(x)在[a，b]上的图象不间断，f(a)·f(b)0. 结论：y＝f(x)在[a，b]上至少有一个零点，即x0∈(a，b)使f(x0)＝0. 2．变号零点 如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点． 3．不变号零点 如果函数图象通过零点时没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点． 函数f(x)的图象如图2-4-1所示，则函数f(x)的变号零点的个数为(　　) 图2-4-1 A．0　　　　　　 B．1　　　　 C．2 D．3 【解析】　函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点． 【答案】　D 教材整理2　二分法 阅读教材P73“第三行”以下～P73“例”以上的内容，完成下列问题． 1．定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法． 2．求函数零点的一般步骤 已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．用二分法求此函数零点的一般步骤为： ①在D内取一个闭区间[a0，b0]?D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)＜0，零点位于区间[a0，b0]中． ②取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的坐标为x0＝. 计算f(x0)和f(a0)，并判断： a．如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止． b．如果f(a0)·f(x0)＜0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0. c．如果f(a0)·f(x0)＞0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0. ③取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝. 计算f(x1)和f(a1)，并判断： a．如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止． b．如果f(a1)·f(x1)＜0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1. c．如果f(a1)·f(x1)＞0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1. …… 继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当区间的长度bn－an不大于给定的精确度时，这个区间[an，bn]中的任何一个数都可以作为函数y＝f(x)的近似零点，计算终止． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　) 【解析】　(1)×.如函数x－2＝0用二分法求出的解就是精确解． (2)×.对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)·f(b)0，所以不能用二分法求其零点． (3)×.函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)× [小组合作型] 二分法的概念 　(1) 图2-4-2 已知函数f(x)的图象如图2-4-2所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　) A．4,4　　　　　　 B．3,4 C．5,4 D．4,3 (2)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________. 【导学号 【精彩点拨】　(1)可以用二分法求出的零点左右函数值异号；(2)方程的实根就是对应函数f(x)的零点，判断f(2)的符号，在2的左右两边寻找函数值与f(2)异号的自变量． 【自主解答】　(1)图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3. (2)设f(x)＝x3－2x－5，f(1)＝1－2－5＝－60，f(2)＝23－4－5＝－10，f(3)＝33－6－5＝160，f(x)零点所在的区间为(2,3)，∴方程x3－2x－5＝0有根的区间是(2,3)． 【答案】　(1)D　(2)(2,3) 二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点