2018年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.1 对数与对数运算（第2课时）对数的运算学案 新人教A版必修1.docVIP

第2课时　对数的运算 1．理解对数的运算性质．(重点) 2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)． [基础·初探] 教材整理1　对数的运算性质 阅读教材P64至P65“例3”以上部分，完成下列问题． 对数的运算性质： 如果a0，且a≠1，M0，N0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM__(n∈R)． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　) (2)logaxy＝logax·logay.(　　) (3)loga(－2)3＝3loga(－2)．(　　) 【解析】　(1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确； (2)×.根据对数的运算性质可知logaxy＝logax＋logay； (3)×.公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)× 教材整理2　换底公式 阅读教材P65至P66“例5”以上部分，完成下列问题． 对数换底公式： logab＝(a0，且a≠1，b0，c0，且c≠1)； 特别地：logab·logba＝1(a0，且a≠1，b0，且b≠1)． 　计算：log29·log34＝________. 【解析】　由换底公式可得log29·log34＝·＝4. 【答案】　4 [小组合作型] 对数运算性质的应用 　求下列各式的值： (1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18; 【导学号 (2)； (3)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72； (4)2log32－log3＋log38－52log53. 【精彩点拨】　当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算． 【自主解答】　(1)法一　原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 法二　原式＝lg 14－lg2＋lg 7－lg 18 ＝lg ＝lg 1＝0. (2)原式＝＝＝＝. (3)原式＝log3＋lg(25×4)＋2＝log33－＋lg 102＋2＝－＋2＋2＝. (4)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532 ＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7. 1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． [再练一题] 1．求下列各式的值： (1)lg25＋lg 2·lg 50； (2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25. 【解】　(1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1. (2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3. 对数运算的实际应用 　一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的(结果保留1个有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 【精彩点拨】　由题目可知经过一年物质剩余的质量约是原来的75%，由此首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算． 【自主解答】　设物质的原有量为a，经过t年，该物质的剩余量是原来的，由题意可得a·0.75t＝a， ∴t＝，两边取以10为底的对数得lgt＝lg，∴t(lg 3－2lg 2)＝－lg 3， ∴t＝≈≈4(年)． 解对数应用题的步骤 [再练一题] 2．地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lg E－11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍． 【解】　设9.0级地震所释放的能量为E1,5.0级地震所释放的能量为E2.由9.0＝(lg E1－11.4)， 得lg E1＝×9.0＋11.4＝24.9. 同理可得lg E2＝×5.0＋11.4＝18.9，