2018年高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 指数函数（第2课时）指数函数的图象与性质的应用学案 苏教版必修1.docVIP

第2课时　指数函数的图象与性质的应用 1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点) 2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点) [基础·初探] 教材整理　指数函数 形如y＝kax(kR，且k≠0，a0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型． 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(xN)． 某人于今年元旦到银行存款a万元，银行利率为月息p，则该人9月1日取款时，连本带利共可以取出金额为________． 【解析】　一个月后a(1＋p)，二个月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，… 9月1日取款时共存款8个月，则本利和为a(1＋p)8. 【答案】　a(1＋p)8 [小组合作型] 求函数的定义域、值域 　求下列函数的定义域和值域： 【精彩点拨】　使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域． 1．对于y＝af (x)这类函数 (1)定义域是指使f (x)有意义的x的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： 由定义域求出u＝f (x)的值域． 利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域． 2．对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题．利用换元法，借助二次函数求解． [再练一题] 1．(1)函数f (x)＝＋的定义域为________. (2)求函数y＝4－x－21－x＋1在x[－3,2]上的最大值和最小值． 【解析】　(1)由得－3x≤0. 所以函数的定义域是(－3,0]． 【答案】　(－3,0] (2)y＝4－x－21－x＋1＝2x－2·x＋1＝2， x∈[－3,2]，x∈， 令t＝x，得y＝(t－1)2，其中t， y∈[0,49]，即最大值为49，最小值为0. 指数函数的应用题 　某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题： (1)试写出x年后该城市人口总数y万人与x之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)． 【精彩点拨】　本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为p，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N(1＋p)x表示． 【自主解答】　(1)1年后城市人口总数为： y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)． 2年后城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2， 同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)3， … 故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为： y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(万人)． 故10年后该城市人口总数约为113万人． 解决实际应用题的步骤 1．领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言； 2．根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括； 3．对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解； 4．检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答． [再练一题] 2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于x的函数解析式． 【解】　设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克． 经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数量为M(1＋1.2%)． 则人均占有粮食为千克， 经过2年后，人均占有粮食为 千克， … 经过x年后，人均占有粮食为 y＝千克， 即所求函数解析式为 y＝360x(xN*)． [探究共研型] 指数函数性质的综合应用 探究　通过指数函数y＝2x，y＝x的图象，可以抽象出指数函数的性质有哪些？ 【提示】　指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质 　已知定义域为R的函数f (x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的tR，不等式f (t2－2t)＋f (2t2－k)0恒成立，求k的取值范围； (3)求f (x)在[－1,2]上的值域． 【精彩点拨】　(1)根据奇函数的定义，求出a，b.(2)利用单调性和奇偶性去掉f 解不等式求k的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x)的值域． 【自主解答】　(1)函数y＝f (x)是定义域R上的奇函数， ∴∴b＝1，a＝2. (2)由(1)知f (x)＝ ＝－＋， 设x1，x2R且x1x2， 则f (x2)－f (x1)＝－＝0， f (x)