2018年高中数学 第三章 推理与证明 3.4 反证法可用来解决na些问题素材 北师大版选修1-2.docVIP

反证法可用来解决哪些问题 一、证明几何量之间的关系 例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。 分析:结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。 证明:假设AC⊥平面SOB，∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO， ∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB， ∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O， 这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直。 否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。上面所举的例子，用直接证法证明比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常采用反证法。 二、证明“唯一性”问题 例2：试证明：在平面上所有通过点的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标、均为有理数的点）的直线有一条且只有一条。 证明：先证存在性。 因为直线，显然通过点，且直线至少通过两个有理点，例如它通过和。这说明满足条件的直线有一条。 再证唯一性。 假设除了直线外还存在一条直线（或）通过点，且该直线通过有理点A与B，其中、、、均为有理数。 因为直线通过点，所以，于是，且。又直线通过A与B两点，所以， ① ② ①－②，得 ③ 因为A、B是两个不同的点，且，所以，， 由③，得，且是不等于零的有理数;由①，得. 此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。 所以，平面上通过点的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。 综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。 关于唯一性的问题，在几何中有，在代数、三角等学科中也有。这类题目用直接证法证明相当困难，因此一般情况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证法证明有时比同一法更方便。 三、证明不可能问题 几何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在。它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在，因此，这类问题非常适宜用反证法。 例3：给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ (其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像. 分析:“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。 证明: ① 设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则x≠x, 假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝ 整理得a(x－x)＝x－x ∵x≠x ∴ a＝1 这与已知“a≠1”矛盾,因此假设不对,即直线MM不平行于x轴。 ② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝， 即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致。 由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图像。 关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型。由于它的结论是以否定形式出现，采用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。 对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练. 四、利用反证法的思想解决求参数范围问题 例4：若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。 分析:三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。 解设三个方程均无实根，则有： ,解得,即－a－1。 所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根。 “至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。 1