2018年高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.4.1 函数与方程（第1课时）函数的零点学案 苏教版必修1.docVIP

3.4　函数的应用 3．4.1　函数与方程 第1课时　函数的零点 1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点) 2．会求函数的零点．(重点、难点) 3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点) [基础·初探] 教材整理1　零点的概念 阅读教材P91至P92例1，完成下列问题． 1．函数零点的定义 一般地，我们把使函数y＝f (x)的值为0的实数x称为函数y＝f (x)的零点． 2．方程、函数、图象之间的关系 (1)函数y＝f (x)的零点就是方程f (x)＝0的实数根． (2)函数y＝f (x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标． 函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________． 【解析】　令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，x＝－1或x＝－2. 【答案】　－1或－2　(－1,0)，(－2,0) 教材整理2　零点存在性定理 阅读教材P92例2至P93“思考”，完成下列问题． 若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)·f (b)0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点． 1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)任何函数都有零点．(　　) (2)任意两个零点之间函数值保持同号．(　　) (3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)·f (b)＜0.(　　) 【解析】　(1)可举反例f (x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f (x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点即x＝1,2,3，在(1,2)上f (x)为正，在(2,3)上f (x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f (x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f (x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f (2)·f (－2)0. 【答案】　(1)×　(2)×　(3)× 2．若函数f (x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，则函数f (x)在区间(2,5)上零点的个数是________． 【解析】　由f (x)在区间(2,5)上是减函数，可得f (x)至多有一个零点．又因为f (x)是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，所以f (x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f (x)恰有一个零点． 【答案】　1 [小组合作型] 求函数的零点 　求下列函数的零点． (1)f (x)＝x3－x；(2)f (x)＝2x－8；(3)f (x)＝1－log4 x；(4)f (x)＝(ax－1)(x－2)(aR)． 【精彩点拨】　根据函数零点的方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根． 【自主解答】　(1)f (x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)， 令f (x)＝0，得x＝0,1，－1，故f (x)的零点为x＝－1,0,1. (2)令f (x)＝2x－8＝0，x＝3， 故f (x)的零点为x＝3. (3)令f (x)＝1－log4 x＝0，log4 x＝1，x＝4. 故f (x)的零点为x＝4. (4)当a＝0时，函数为f (x)＝－x＋2， 令f (x)＝0，得x＝2. f (x)的零点为2. 当a＝时，f (x)＝(x－2)＝(x－2)2， 令f (x)＝0得x1＝x2＝2. f (x)有零点2. 当a≠0且a≠时， 令f (x)＝0得x1＝，x2＝2. f (x)的零点为，2. 综上，当a＝0时，f (x)的零点为2；当a＝时，函数有零点2；当a≠0且a≠时，f (x)的零点为，2. 函数零点的求法 求函数f (x)的零点时，通常转化为解方程f (x)＝0，若方程f (x)＝0有实数根，则函数f (x)存在零点，该方程的根就是函数f (x)的零点；否则，函数f (x)不存在零点． [再练一题] 1．若函数f (x)＝x2－ax＋b有两个零点1和4，则函数g(x)＝bx2－ax＋1的零点为________． 【解析】　由韦达定理得g(x)＝4x2－5x＋1＝(4x－1)(x－1)， 令g(x)＝0，则x＝或1，即g(x)的零点为或1. 【答案】　或1 零点存在性定理及其应用 　在下列区间中，函数f (x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为________．(填序号) ；；；. 【精彩点拨】　利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a)f (b)0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x轴是否有交点． 【自主解答】　f ＝－20， f ＝－10， 零点在上． 【答案】　 1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象． 2．要正确理解和运