2018年高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.4.1 函数与方程（第2课时）用二分法求方程的近似解学案 苏教版必修1.docVIP

第2课时　用二分法求方程的近似解 1．通过实例理解二分法的概念．(难点) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法． 3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点) [基础·初探] 教材整理　二分法 阅读教材P93至P96，完成下列问题． 1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f (a)·f (b)0的函数y＝f (x)，通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求函数f (x)零点近似值的步骤 (1)确定区间[a，b]，使f (a)·f (b)0. (2)求区间(a，b)的中点x1＝. (3)计算f (x1)． ①若f (x1)＝0，x1就是函数的零点； ②若f (a)·f (x1)0，则令b＝x1，此时零点x0∈(a，x1)； ③若f (x1)·f (b)0，则令a＝x1，此时零点x0∈(x1，b)． (4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到零点近似值，否则重复步骤(2)～(4)． 3．用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f (x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f (x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题． 1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　) (2)函数f (x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．(　　) (4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f (x)在[a，b]内的所有零点得到．(　　) 【解析】　四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f (x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f (1)＝0.(2)中， f (x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f (x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可．故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．用二分法求函数y＝f (x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f (2)·f (3)＜0，取区间[2,3]的中点x1＝＝2.5，计算得f (2.5)·f (3)＞0，此时零点x0所在的区间是________． 【解析】　由于 所以f (2)·f (2.5)＜0， 所以x0∈(2,2.5)． 【答案】　(2,2.5) [小组合作型] “二分法”求方程的近似解 　证明：方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0.1) 【精彩点拨】　构造函数f (x)＝2x＋3x－6→验证f (1)·f (2)0 →根据图象说明解唯一→利用二分法求近似解 【自主解答】　分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示： 在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解． 由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现， 方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1， 并且这个解在区间(1,2)上． 设f (x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算，得： f (1)0，f (2)0?x1∈(1,2)， f (1)0，f (1.5)0?x1∈(1,1.5)， f (1)0，f (1.25)0?x1∈(1,1.25)， f (1.125)0，f (1.25)0?x1∈(1.125,1.25)， f (1.187 5)0，f (1.25)0?x1∈(1.187 5,1.25)， f (1.218 75)0，f (1.25)0?x1∈(1.218 75，1.25)， f (1.218 75)0，f (1.234 375)0?x1∈(1.218 75，1.234 375)． 因为1.218 75与1.234 375精确到0.1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为x1≈1.2. 1．由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题． 2．求方程f (x)＝g(x)的近似值注意的问题：①确定初始区间时，一般采用图象法，作函数y＝f (x)，y＝g(x)的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围；②实施二分法时，需构造函数F (x)＝f (x)－g(x)，求F (x)＝0的近似解． [再练一题] 1．求的近似值(精确到0.1)． 【解】　是x3＝2的根，因此可构造f (x)＝