2018年高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.3 幂函数学案 苏教版必修1.docVIP

3.3　幂函数 1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，的图象．(重点) 2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难点) 3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、难点) [基础·初探] 教材整理1　幂函数的概念 阅读教材P88开始至例1以上部分，完成下列问题． 一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 1．若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________. 【解析】　由题意得所以m＋n＝3. 【答案】　3 2．已知幂函数f (x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f (－2)＝________. 【解析】　8＝2α，所以α＝3， 所以f (x)＝x3，f (－2)＝(－2)3＝－8. 【答案】　－8 教材整理2　幂函数的图象和性质 阅读教材P88例1～P89，完成下列问题． 常见幂函数的图象和性质 判断(正确的打“√” ，错误的打“×”) (1)幂函数的图象不经过第四象限．(　　) (2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．(　　) (3)指数函数y＝ax的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．(　　) 【解析】　(1)由幂函数的一般式y＝xα(α为常数)及图象可知，当x0时，y0，即图象不经过第四象限． (2)y＝x－1不经过(0,0)点，故错误． (3)y＝x，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)× [小组合作型] 幂函数的概念 　已知y＝(m2＋2m－2) ＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 【精彩点拨】　由幂函数的定义列式求解． 【自主解答】　由题意得， 解得 m＝－3，n＝为所求． 1．幂函数y＝xα要满足三个特征 (1)幂xα前系数为1； (2)底数只能是自变量x，指数是常数； (3)项数只有一项． 2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x)＝xα，根据条件求出α. [再练一题] 1．下列函数是幂函数的有________．(填序号) y＝x2x；y＝2x2；y＝x；y＝x2＋1；y＝－； 【解析】　根据幂函数的定义，只有符合题意． 【答案】　 2．已知幂函数f (x)＝xα的图象经过，则f (100)＝________. 【解析】　由题知2α＝＝2，α＝－. f (x)＝x， f (100)＝100＝＝. 【答案】　 比较大小 　比较下列各组数中两个数的大小： 【精彩点拨】　可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较． 【自主解答】　(1)y＝是[0，＋∞)上的增函数，且， (2)∵y＝x－1是(－∞，0)上的减函数， 且－－， －1－1. (4)由幂函数的单调性，知0.20.60.30.6，又y＝0.3x是减函数，0.30.40.30.6，从而0.20.60.30.4. 比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数： (1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数； (2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数． (3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量． [再练一题] 3．比较下列各组中两个数的大小： 【解】　(1)因为函数在(0，＋∞)内是减函数，(2)函数y＝x1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a＞0，a＋1＞a， 所以(a＋1)1.5＞a1.5. [探究共研型] 幂函数的图象与性质 探究1　做幂函数y＝的图象应该怎么做？ 【提示】　因为01，故函数y＝在第一象限内是单调递增的，并且在(0,1)上应在y＝x的上方，在(1，＋∞)上应在y＝x的下方． 函数的定义域为R，且为偶函数，故将y轴右侧的图象关于y轴对称到y轴左侧，即得到y＝的图象． 探究2　从上述过程能否归纳出作幂函数y＝xα的图象的步骤？ 【提示】　先看α，按α0,0α1，α1来分类(α＝0，α＝1两种特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状． 再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象． 探究3　作出的图象(草图)，并说明若 时，x，y与0的大小关系有多少种？ 【提示】　在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下， 从图象可以看出，则有以下情况 0xy；xy0；x0y. 　已知幂函数y＝x3m－9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)(3－2a)的a的取值范围． 【精彩点拨】　据题中条件→列出不等式组→求出m→利用幂函数的单调性→对底数分类讨论→得a 【自主解答】　函数在(0，＋∞)上递减， 3m－90， 解得m3. 又mN*，m＝1,2. 又函数图象关于y轴对称， 3m－9为偶数，故m＝1. a＋13－2a0或0a＋13－2a， 或a＋103－2a， 解