高等代数第3章习题解.docVIP

第三章习题解答 习题3.1 1、试说明行列式与矩阵是两个完全不同的概念 解：虽然在形式上矩阵与行列式相近，但行列式经过计算最后得到一个数，而矩阵不论经过什么变换或运算，其结果都仍然还是矩阵。 2、举例说明矩阵的相等与行列式的相等有哪些不同？ 解：两个矩阵相等当且仅当它们的结构相同，并且所含的对应元素也全部相同；而行列式只要计算结果相同，就认为这两个行列式相等。例如： 与的计算结果都是5，所以这两个行列式相等，而作为矩阵 与是两个不同的矩阵 3、试问如下的两个矩阵是否相等，为什么？ （1）与；（2）与 解（1）这两个矩阵不相等，因为它们的结构不同，一个是2×2矩阵，另一个是2×3矩阵。 （2）这两个矩阵也不相等，虽然它们的结构相同，但对应元素不完全相同。 4、设，，问a，b，c，d为何实数时有A = B 解：欲使A = B，必须有a+b =3，2cd =5，a－b = 1，c－d = ；（2） （3）；（4） （5）； （6） 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 （6）原式 6、计算 （1）；（2）；（3）（n是正整数） （4）（n是正整数）； （5） 解（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 7、设，，求 解：，那么 8、证明：若都与A可交换，则与A都可交换 证明： 9、若，证明 证明： ，由于 所以 10、设A是一实对称矩阵，证明：如果，则 证明：由于A是实对称矩阵，所以由得，设， 那么 ，但 所以 ， 但诸都是实数，所以必有 进一步有，从而有 11、证明：若A为n阶方阵，则都是对称矩阵，是反对称矩阵。 证明： 12、如果A与所有的n阶方阵都可交换，则A一定是数量矩阵 证明：记表示第i行第j列交叉处的元素为1，其它元素都是零的n阶矩阵，并记，那么 由于，所以当时有，即A是对角矩阵 记 那么 由于，所以， 同理由得，……，由得，从而得，所以A是数量矩阵。 13、对矩阵进行分块，然后计算AB： （1） （2） 解：（1）记 则 而， 所以 （2）记 于是 所以 14、设A、B分别是m×k和k×n矩阵，将A按行分块为，B按列分块为，则 证明：显然AB的结果是m×n矩阵，于是等式中的每一项的计算结果都具有这个结构。其次，由于AB的第一列是A的第一行乘B的第一列为第一元素、A的第二行乘B的第一列为第二元素、……、A的第n行乘B的第一列为第n元素；这个结果相当于；同理AB的第二列是，……，AB的第n列是，即按列分块，AB等于； 同理：AB的第一行是A的第一行乘B的第一列为第一元素、A的第一行乘B的第二列为第二元素、……、A的第一行乘B的第n列为第n元素；这个结果相当于；进而有AB的第二行是，……，AB的第n行是，即按行分块，AB等于 而正是按乘法规则计算的结果，所以 成立。 习题3.2 1、数量矩阵kE何时可逆？何时不可逆？当kE可逆时，求它的逆矩阵。 解：当kE可逆时，设kE的逆矩阵为A，则，所以A也是数量矩阵，并且，这说明k不等于零。所以kE可逆的条件是k不为零，当k为零时，kE不可逆，当kE可逆时，其逆矩阵为。 2、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵 （1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）（2）两个矩阵的行列式都等于零，所以这两个矩阵都不可逆；（3）的矩阵行列式的值为1，（4）的矩阵行列式的值等于8，所以这两个矩阵都可逆。 所以 所以 3、设，当a、b、c、d适合什么条件时A可逆？当A可逆时，求。 解：因为A可逆的充分必要条件是A的行列式不等于零，即，所以当时，A可逆，此时 于是 4、试证明若矩阵A可逆，则也可逆，并求的逆矩阵。 证明：由推论3.2.7知，当A可逆时，所以的行列式都不为零，所以也可逆，并且 ，，所以 5、试证明：如果，则可逆，并且 证明：事实上 所以 6、若n阶矩阵A、B都可逆，那么A＋B也可逆吗？ 解：A＋B未必可逆，例如 ，则A，B都可逆，但却不可逆。 7、证明（1）如果A是可逆对称（反对称）矩阵，那么也是对称（反对称）矩阵；（2）不存在奇数阶可逆反对称矩阵 证明：（1）如果A是对称矩阵，即，于是； 如果A是反对称矩阵，即，于是 所以也是对称（反对称）矩阵； （2）如果A是奇数阶反对称矩阵，，那么 于是，所以A不可逆。 8、证明：，其中A是n阶方阵 证明：由推论3.2.7知，并且由，那么 ，即 所以。 9、设A是n阶实方阵，如果，则称A是正交矩阵，证明如