高等代数第7章习题解.docVIP

第七章习题解答 习题7.1 在中，设，计算： （1）α与β的内积；（2）α与β的长度；（3）α与β的距离；（4）α与β的夹角； 解：（1）； （2） （3） （4） 所以 2、求齐次线性方程组的所有解，说明其任一解与向量（1，2）的关系。 解这个方程组的通解为，记，则，所以这两个向量正交。 3、证明：在中，以坐标原点为起点，单位圆周上的点为终点的向量是单位向量。 证明：以坐标原点为起点，单位圆周上的点为终点的向量的长度为1，所以以坐标原点为起点，单位圆周上的点为终点的向量是单位向量。 4、证明定理7.1.2 定理内容：（1）；（2）； （3）；（4） 证明：设，那么 （1） （2） （3） （4）略 5、证明度量矩阵是可逆矩阵。 证明：设是基，其度量矩阵为 再设，依次用与等式两边作内积，得 这个齐次方程组的系数矩阵正好是基的度量矩阵，由于线性无关，那么只有零解，从而上面的齐次方程组也只有零解，故其系数矩阵可逆。 习题7.2 1、已知是的一个基，试将其化成的一个标准正交基。 解：取，，这时可以取（因为新的与正交）。 单位化得的一个标准正交基为，， 2、设是的一个标准正交基，，并且有 证明是的标准正交基 证明：令，则 所以T是正交矩阵，从而也是的标准正交基 3、设是n维列向量空间，A是n维实方阵，证明：A是正交矩阵当且仅当对任意的，总有 证明：因为，都是n维列向量，按矩阵乘法和向量内积的定义有 因为，而都是n维列向量，按矩阵乘法和向量内积的定义有，所以， 但 所以有，即A是正交矩阵 4、设是n维列向量空间，A是n维实方阵，证明：A是对称矩阵当且仅当对任意的，总有 证明：因为，都是n维列向量，按矩阵乘法和向量内积的定义有 因为，而都是n维列向量，按矩阵乘法和向量内积的定义有，即， 所以有 5、在中，设，求中所有与α，β都正交的向量。 解：设所求向量为，那么有 解这个齐次方程组： 得 习题7.3 1、设是欧氏空间，W是的子空间，证明。 证明：由于，那么有，；反过来，有 所以 2、设是欧氏空间，是的子空间，证明： （1）； （2）。 证明：（1），对于 ，同理有，所以 反过来， 对于 这时 所以 于是 （2）用换，换代入（1）的等式，利用本节习题1得 即 3、在中，设，求的正交补。 解：先求与都垂直的向量，设所求向量为，那么有 解这个齐次方程组： 得，所以 4※、设A是n阶实方阵，，W是齐次线性方程组的解空间，证明线性方程组有解的充要条件是 证明：我们先证明下面的命题：设A的行向量组为 ，，是齐次线性方程组AX = 0的解空间，那么。 事实上：设是AX=0的基础解系，显然它们与都正交，因此 ；反过来，，那么，。记 ，则，所以是AX=0的解 ，即。 现在回过头来证明本题： 设A的列向量依次为，则是方程组的行向量，令 ，由前面的证明的解空间为 ， 于是有解可以由线性表出 习题7.4 1、证明：上三角正交矩阵必为对角矩阵，问其对角线上的元素是什么？ 证明：设A是上三角正交矩阵： ， 由于上三角可逆矩阵的逆矩阵仍然是上三角矩阵（这是因为对矩阵（A,E）施行初等行变换时，当A变成单位阵后，E只能变成一个上三角矩阵），但却是一个下三角矩阵，而，即同时又是一个上三角矩阵，所以是对角矩阵，亦即A也是对角矩阵。 再由于 2、证明：正交矩阵的特征根为±1。 证明：设是正交矩阵A的特征根，是属则的特征向量，于是， ，但，所以 ，所以 3、证明：正交矩阵的属于不同特征根的特征向量一定正交。 证明：设是正交矩阵A的两个不同特征根，是分别属于它们的特征向量， 由上题知， 再由定理7.1.1，与A对应的变换是正交变换，保持向量的内积不变，即 另一方面， 所以 4、求正交矩阵A，使其第一行是： （1）； （2） 解：（1）与向量正交的向量为， 所以所求正交矩阵为或 （2）与向量正交的向量满足：，两个线性无关解为，将这两个向量正交化得： 单位化得： 所以所求正交矩阵为或 或或 习题7.5 1、求正交矩阵T使成为对角矩阵： （1）；（2） 解：（1） （2） 2、证明：幂零的实对称矩阵一定是零矩阵。 证明：设，显然A的特征根都是零，又A是对称矩阵，由推论7.5.4，A可以对角化，即有可逆矩阵T使 3、证明：对称的正交矩阵A的特征根必为1或－1 [注]这是习题7.4的第2题。 4、设A是实对称矩阵，且，证明：存在正交矩阵T使 证明：由习题6.3的第3题，A的特征根为1或0，又由于A是对称矩阵，所以A一定可对角化，设属于1和0的特征向量分别为和 将它们分别标准正交化后，合并为V的一个标准正交基，不妨仍然记为： ， 取，，那么T是正交矩阵，并且 其中主对角线上从上