高等代数第四章整环里的因子分解.docVIP

第四章 整环里的因子分解 §1、素元、唯一分解 整除、单位、相伴元 定义 在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。b不能整除a记作b|a。 定义 整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a和一个单位ε的乘积：b=εa。 单位元必是单位，反之不然。 例1 在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元b=a。在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式cF*， g（x）是f（x）的相伴元g（x）=cf（x）。 定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。单位ε的逆元ε-1也是一个单位。 推论 整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。 素元 定义 单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。 定义 整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p，p不是单位，并且p只有平凡因子。 例2 在例1的Z中，素元就是素数。在F[x]中 ，素元就是不可约多项式。 定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。 定理3 整环I的一个非零元a有真因子a=bc，b和c都不是单位。 推论 假定a0，并且a有真因子b:a=bc。那么c也是a的真因子。 唯一分解 定义 一个整环I的一个元a说是在I里有唯一分解，假如以下条件能被满足： （i）a=p1p2…pr（pi是I的素元） （ii）若同时 a=q1q2…qs（qi是I的素元） 那么 r=s 并且我们可以把qi的次序掉换一下，使得 qi=ipi (i是 I的单位) 零元和单位都不能唯一分解。 例3 在整环I=中： （1）是单位。 （2）若，则是素元。 （3）4I有两种不同的分解（不相伴分解）： §2、唯一分解环 唯一分解环 定义 一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。 定理1 一个唯一分解环有以下性质： (iii)若素元p|ab，那么p|a或p|b。 定理2 假定一个整环I有以下性质： (i) I的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解 a=p1p2…pr（pi是I的素元） (iii)若I的素元p|ab，那么p|a或p|b则I是唯一分解环。 由定理1和定理2可得： 假定一个整环I的每一个既不是零也不是单位的元都有一个分解 a=p1p2…pr（pi是I的素元） 那么I是唯一分解环若I的素元p|ab 那么p|a或p|b。 最大公因子、互素 定义 元c叫做元a1，a2，…，an的公因子，假如c同时能整除a1，a2，…，an。 元a1，a2，…，an的一个公因子d叫做a1，a2，…，an的最大公因子，假如d能被a1，a2，…，an的每一个公因子整除。记为d=（a1，a2，…，an）。 定理3 一个唯一解环I的两个元a和b在I里一定有最大公因子。a和b的任两个最大公因子必相伴。 若d是元a和b的最大公因子，d＇＇ §3、主理想环 定义 一个整环I叫做一个主理想环，假如I的每一个理想都是一个主理想。 注 在整环中，主理想 （b）（a）b（a）a|b； （a）=（b）a与b相伴。 引理1 （因子链条件）假定I是一个主理想环，若在序列 a1，a2，…，an，…（anI） 里，an+1是an的真因子（n=1，2，…），那么这个序列一定是一个有限序列。 引理2 假定I是一个主理想环，那么I的一个素元p生成一个最大理想。 定理 一个主理想环I一定是唯一分解环 §4、欧氏环 定义 一个整环I叫做一个欧氏环，假如 （i）存在一个映射：I*→N（非负整数集）； （ii）给定aI*，都可以写成 b=aq+r（q，rI） 的形式，这里或是r=0或是（r）＜（a）。 整数环Z是一个欧氏环。 例2 数域F上的一元多项式环F[x]是一个欧氏环。 定理１ 任何欧氏环I一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。 定理2 整数环是一个主理想环，因而是一个唯一分解环。 引理 假定I[x]是整环I上的一元多项式环，I[x]的元 g(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0 的最高系数an是I的一个单位，那么I[x]的任意多项式f（x）都可以写成 f(x)=g(x)q(x)+r(x) （q(x),r(x)I[x]） 的形式，这里或是r(x)=0或是r(x)的次数小 于g(x)的次数n。 推论 假定 F[x]是域F上的一元多项式环，F[x]的元g(x),那么F[x]的任意多项式f(x)都可以写成 f(x)=g(x)q(x)+r(x) (q(x),r(x)[x]) 的形式， 这里或是r(x)=0或是。 定理3 一个域F上的一元多项式环F[x]是一个欧氏环。 例3 高斯整数环