高等代数第6章习题解.docVIP

第六章习题解答 习题6.1 1、设，判断下面V到V的映射哪些是V的线性变换，哪些不是？ （1）；（2）； （3）； （4），是一个固定的非零向量。 （5），是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为，有 （2）是。因为，有 （3）不是。因为 而 所以 （4）不是。因为，而 所以 （5）不是。因为，而 2、设是数域F上全体n阶方阵构成的集合，有§4.5，V是F上维线性空间，设是固定元，对任意，定义 证明，f是V的一个线性变换。 证明：，则 所以 f是V的一个线性变换。 3、设，，定义 证明：f是V的一个线性变换。 证明， 所以 f是V的一个线性变换。 习题6.2 1、是的线性变换，使，求 解： 2、设是的线性变换，对有 求，其中。 解：记表示恒等变换， 则 3、证明线性变换的算律（1）——（3）、（5）——（8）、（9）——（11） 证明：（1），由§4.1的向量运算的算律（1）有 （2）由§4.1的向量运算的算律（2）有 （3），定义变换0：，显然这个变换是线性变换，由§4.1的向量运算的算律（3）有 （5），由§4.1的向量运算的算律（5）有 （6），由§4.1的向量运算的算律（6）有 （7），由§4.1的向量运算的算律（7）有 （8），由§4.1的向量运算的算律（8）有 （9），则 （本节定义1） 所以 （10），则 所以 （11），则 所以 其次 所以 4、设是的线性变换，，如果， ，求。 解：因为 所以 5、设，是F上的多项式，证明 ，称是线性变换f的多项式。 证明：由线性变换的乘法定义和性质，对自然数，有，再由数乘定义与性质，对，有 再由线性变换的加法定义有 习题6.3 1、求矩阵A的特征根和特征向量： （1）；（2）；（3） 解：（1） 所以，特征根为2，2，6 对于 ，则线性无关特征向量为 对于 得线性无关特征向量 （2） 特征根为三重根1，则 ，线性无关特征向量为 （3） 特征根为0、1、1 对于， 线性无关特征向量为 对于 线性无关特征向量为 2、设，证明是正整数）。 证明：对t用数学归纳法：t=1显然成立，设命题对成立，则 命题对一切自然数都成立。 3、设n阶方阵A满足（此时A称为幂等矩阵）。证明A的特征根是1或0。 证明：设的特征根为，对应的特征向量为，那么 ，但 所以有，但，所以，从而A的特征根是1或0。 4、证明与有相同的特征根。 证明： 所以与有相同的特征根。 5、设，，证明，其中 。 证明：由习题2及矩阵的运算得： 6、设A是n阶方阵，A的特征根为，证明： （1）A可逆当且仅当； （2）当A可逆时，求的特征根。 解：（1）由定理6.3.3知，所以A可逆当且仅当。 （2） 因此，如果是A的特征根，那么是的特征根。于是的特征根是 7、设，，则对任意数k，l，有 证明： 习题6.4 1、求下列矩阵的特征根和特征向量，并指出哪个矩阵与对角矩阵相似，写出满足相似关系的可逆矩阵和对角矩阵。 （1）；（2）；（3） 解：（1） 特征根为1，2 对于， ，线性无关特征向量为 对于， 线性无关特征向量为 A不能对角化。 （2） 特征根为1，2 对于， 线性无关特征向量为 对于 线性无关特征向量为 A不能对角化。 （3） 特征根为0，2 对于， 线性无关特征向量为 对于， 线性无关特征向量为 可以对角化，满足相似关系的可逆矩阵为 ，对应的对角矩阵为： 2、设，求； 解： 特征根为1，5，－5。 对于，线性无关特征向量为； 对于 ，线性无关特征向量为； 对于 ， 线性无关特征向量为； 令，则 所以 3、设A是n阶方阵，证明： （1）A可逆当且仅当A的每个特征根都不等于0；（这是习题6.3的第6题） （2）若A可逆，是A的特征根，则是的特征根；（这也是） （3）A与对角矩阵相似当且仅当亦是。 证明：前两小题是习题6.3的第6题 这里证明（3）A可以对角化，则存在可逆矩阵T使，B是对角矩阵。两边取逆矩阵得：，而也是对角矩阵；所以也可以对角化 可以对角化，则存在可逆矩阵T使，B是对角矩阵。两边取逆矩阵得：，而也是对角矩阵；所以A可以对角化。 4、设，且，证明不存在数使 证明：假若不然，有数使 那么有 于是 由定理6.4.2线性无关，所以有，这与已知矛盾。 5※、设A是n阶方阵，如果有正整数m，使。则A与对角矩阵相似。 证明：设,那么, 6、设A是n阶方阵，若0，且有正整数m（使，证明 （1）A只以0为特征根； （2）A不能与对角矩阵相似。 证明：设是A的特征根，是属于的特征向量，那么 但，所以A只以0为特征根； 其次，如果A能对角化，则有对角矩阵B与可逆矩阵T使，但A的特征根都是0，所以B只能是零矩阵，这与前提矛