高等代数最重要的基本概念汇总.docVIP

第一章 基本概念 1.5 数环和数域 定义1 设S是复数集C的一个非空子集,如果对于S中任意两个数a、b来说，a+b,a-b,ab都在S内，那么称S是一个数环。 定义2 设F是一个数环。如果 （i）F是一个不等于零的数； （ii）如果a、bF,，并且b，，那么就称F是一个数域。 定理 任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。 多项式 2.1 一元多项式的定义和运算 定义1 数环R上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ， 是非负整数而都是R中的数。 项式中，叫作零次项或常数项，叫作一次项，一般，叫作i次项的系数。 定义2 若是数环R上两个一元多项式和有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说和就说是相等 定义3 叫作多项式，的最高次项，非负整数n叫作多项式，的次数。 定理2.1.1 设和是数环R上两个多项式，并且，，那么 当时， 。 多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 加法交换律： ； 2） 加法结合律： ； 3）乘法交换律： ； 4） 乘法结合律： ； 5） 乘法对加法的分配律： 。 推论2.1.1 当且仅当和中至少有一个是零多项式 推论2.1.2 若，且，那么 2.2 多项式的整除性 设F是一个数域。是F上一元多项式环 定义 令和是数域F上多项式环的两个多项式。如果存在的多项式，使，我们说，整除（能除尽）。 多项式整除的一些基本性质： 1） 如果，，那么 2） 如果，，那么 3） 如果，那么对于中的任意多项式来说， 4） 果那么对于中任意 5） 次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任意多项式。 6） 每一个多项式都能被整除，这里c是F中任意一个不等于零的数。 7） 如果，，那么，这里c是F中的一个不等于零的数 设，是两个任意的多项式，并且。那么可以写成以下形式，这里，或者的次数小于的次数。 定理2.2.1 设和是的任意两个多项式，并且。那么在中可以找到多项式和，使 （3） 这里或者，或者的次数小于的次数，满足以上条件的多项式只有一对。 设数域含有数域而和是的两个多项式，如果在里不能整除，那么在里也不能整除。 定义1 假定是和的任一公因式，那么由 中的第一个等式，也一定能整除。同理，由第二个等式，也一定能整除。如此逐步推下去，最后得出能整除，这样，的确是和的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。 定义2 设以除时，所得的商及余式，比较两端同次幂的系数得，，…，，这种计算可以排成以下格式 用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。 2.3 多项式的最大公因式 设F是一个数域。是F上一元多项式环 定义1 令设和是的任意两个多项式，若是的一个多项式同时整除和，那么叫作与的一个公因式。 定义2 设是多项式与的一个公因式。若是能被与的每一个公因式整除，那么叫作与的一个最大公因式。 定理2.3.1 的任意两个多项式与一定有最大公因式。除一个零次因式外，与的最大公因式是唯一确定的，这就说，若是与的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数c与的乘积c 也是与的一个最大公因式；而且当与不完全为零时，只有这样的乘积才是与的最大公因式。 从数域F过度渡到数域时，与的最大公因式本质上没有改变。 定理2.3.2 若是的多项式与的最大公因式，那么在里可以求得多项式，使以下等式成立： （2）。 注意：定理2.3.2的逆命题不成立。例如，令，那么以下等式成立：但显然不是与的最大公因。 定义3 如果的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这两个多项式互素。 定理2.3.3 的两个多项式与互素的充要条件是：在中可以求得多项式，使 （4） 从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实： 若多项式与都与多项式互素，那么乘积也与互素。 若多项式整除多项式与的乘积，而与互素，那么一定整除。 若多项式与都整除多项式，而与互素，那么乘积也整除 最大公因式的定义可以推广到个多项式的情形： 若是多项式整除多多项式中的每一个，那么叫作这n个多项式的一个公因式。若是的公因式能被这n个多项式的每一个公因式整除，那么叫作的一个最大公因式。