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历年大学生数学竞赛高等代数试题及分析(首届数学竞赛预赛试题)第二题此题考查的基本概念及基本方法：1.矩阵相等的定义及证明两个矩阵相等的方法。2.求线性空间的维数及证明向量组线性无关的方法。3矩阵的分块。4.矩阵的乘法不满足交换律，但矩阵多项式与是可交换的。第三题此题考查的基本概念及基本方法：1线性变换的特征值与特征向量2.线性变换的特征子空间与不变子空间，同时，若是复数域上维线性空间的线性变换，且的特征子空间是的不变子空间，则在中必有公共的特征向量。3.线性变换的迹的定义及迹的性质。(首届数学竞赛决赛试题)第七题此题考查的基本概念及基本方法：1.正定矩阵与半正定矩阵的性质。2.实对称矩阵正交相似于一个对角阵。3.矩阵的分块。4.行列式的计算。第八题1.线性空间的核空间和象空间的维数公式。2.线性空间的维数定理。3.线性空间的基的扩充定理。(二届数学竞赛预赛试题)第二题：此题主要考察矩阵的特征值，矩阵的若当标准型，矩阵的秩。并且要注意到相似矩阵有相同的特征值。第六题此题主要考察利用构造法证明问题的方法，在证明过程中用到了矩阵的转置运算。同时，题目中条件比较多，如何把这些条件有序的联系起来进行构造，是证明的一个难点。(二届数学竞赛决赛试题)第四题此题主要考察矩阵线性空间的线性变换的可对角化问题。在证明过程中，主要涉及到的知识点有矩阵线性空间的基及其维数，向量的线性无关的判定，以及特殊矩阵的运算。第六题此题主要考察矩阵线性空间上满足一定条件的线性函数的结构。解决此类问题的一般方法是首先取定矩阵线性空间的自然基，规定线性函数在自然基下的象，最终就可以确定线性函数的结构。在证明此问题的过程中，用到的基本知识点有：１．矩阵的迹的相关性质。２．矩阵线性空间的自然基之间的乘法运算。（此知识点已考过多次）(三届数学竞赛预赛试题)第三题此题主要考察线性变换与矩阵的对应关系。要证线性变换为数乘变换，只需证明线性变换所对应的矩阵是标量矩阵。在此题的证明过程中，用到的知识点是：基变换与坐标变换公式。与所有矩阵可交换的矩阵只能是标量矩阵。第六题此题主要考察证明两个矩阵相似的一种非常重要的方法，即同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的。从而问题转化为将线性变换分解为不变子空间的直和。在证明的过程中，用到的知识点有：有限维空间的核空间的升链稳定。有限维空间的核空间和象空间的维数之间的关系。（利用此关系，可以快速证明有限维线性空间的线性变换是单射当且仅当是满射。）线性空间的维数定理。利用直和找基的方法。(三届数学竞赛决赛试题)第五题此题主要考察矩阵的运算。第六题此题主要考察矩阵的相似。