2017-2018学年度高中数学 第二章 变化率与导数 2.5 简单复合函数的求导法则课件 北师大版选修2-2.pptVIP

-*- §2.5　简单复合函数的求导法则 复合函数的导数 (1)定义:对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,这样y可以表示成x的函数,我们称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y=f(φ(x)).其中u=φ(x)为中间变量. (2)导数公式:复合函数y=f(φ(x))的导数为yx=[f(φ(x))]=f(u)φ(x). 名师点拨求复合函数的导数的注意事项 (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成,适当选定中间变量. (2)尽可能地先将函数化简,再求导. (3)要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用. (4)复合函数的求导过程可简记为分解—求导—回代,熟练以后,可以省略中间过程. 【做一做1】 指出下列函数是怎样复合而成的: 解:(1)令u=g(x)=2x,则y=sin u,u=2x, y=f(u)=f(g(x))=sin 2x. (3)令u=g(x)=1-2x,则y=logau,u=1-2x, y=f(u)=f(g(x))=loga(1-2x). 【做一做2】 求下列函数的导数. (1)y=(2x+1)5; 解:(1)设u=2x+1,则y=u5, ∴yx=yu·ux=(u5)·(2x+1)=5u4·2=10u4=10(2x+1)4. (2)设u=1-3x,则y=u-4,∴yx=yu·ux=(u-4)·(1-3x)=-4u-5·(-3) 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. × √ 探究一 探究二 思维辨析 复合函数求导 【例1】 求下列函数的导数: (1)y=(2x+1)n(n∈N+); (2)y=sin(4x+3); (3)y=xcos 2x. 解:(1)y=[(2x+1)n]=n(2x+1)n-1·(2x+1) =2n(2x+1)n-1. (2)y=[sin(4x+3)]=cos(4x+3)·(4x+3)=4cos(4x+3). (3)y=(xcos 2x)=x·cos 2x+(cos 2x)·x =cos 2x-2xsin 2x. 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟求复合函数的导数要处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本初等函数结构; (2)关键是正确分析函数和复合层次; (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层的求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后要把中间变量换成自变量的函数; (6)复合函数求导,中间步骤可以省略,不必写出函数复合过程,可以直接应用公式和法则,从最外层开始由外及里逐层求导. 探究一 探究二 思维辨析 变式训练1已知函数f(x)=ln(2x+1),则f(0)=(　　) A.0 B.1 C.2 D. 答案:C 探究一 探究二 思维辨析 变式训练2求下列函数的导数. 探究一 探究二 思维辨析 综合应用 分析:先利用复合函数的求导法则求出函数f(x)的导数,再利用导数的几何意义求切线方程. 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟根据导数的运算法则和复合函数求导法则可以求任何一个初等函数的导数,从而解决了初等函数的求导问题,进而可以解决与导数有关的实际问题. 探究一 探究二 思维辨析 答案:2 变式训练4设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　.? 解析:∵y=a·eax,且y=f(x)=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,∴k=2=f(0)=a,即a=2. 答案:2 探究一 探究二 思维辨析 没有分清复合函数的复合结构而致误 【典例】 求函数y=x·e1-2x的导数. 易错分析:对e1-2x的求导应按照复合函数的求导法则进行,即(e1-2x)=e1-2x·(1-2x)=-2·e1-2x. 解:y=e1-2x+x(e1-2x)=e1-2x+x·e1-2x(1-2x) =e1-2x-2xe1-2x=(1-2x)e1-2x. 纠错心得1.求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是直接求导函数,还是利用复合函数的导数公式求导. 2.复合函数y=f(φ(x))的导数为yx=[f(φ(x))]=f(u)φ(x).即对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘中间变量对自变量的导数,分步计算时,每一步都要明确是对哪个变量求导. 探究一 探究二 思维辨析 解:令y=ln u,u=2x+3, 1 2 3 4 5 1.函数y=cos (1+x2)的导数是(　　) A.2xsin (1+x2) B.-sin (1+x2) C.-2xsin (1+x2) D.xsin (1+x2) 解析:y=-sin (1+x2)·