2017-2018学年度高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明（一）练习 新人教A版选修1-2.docVIP

2.2 直接证明与间接证明（1） A级　基础巩固 一、选择题 1．关于综合法和分析法的说法错误的是(　C　) A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B．综合法又叫顺推证法或由因导果法 C．综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法 D．分析法又叫逆推证法或执果索因法 [解析]　综合法是由因导果，分析法是执果索因，故选项C错误． 2．“对任意角θ，都有cos4 θ－sin4 θ＝cos2 θ”的证明过程：“cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ－sin2 θ)(cos2 θ＋sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos2 θ”应用了(　B　) A．分析法 B．综合法 C．综合法与分析法结合使用 D．间接证法 [解析]　证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式，因此是综合法． 3．若ab0，则下列不等式中成立的是(　C　) A．　　　　　　　 B．a＋b＋ C．b＋a＋ D． [解析]　ab0，， 又ba，b＋a＋. 4．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为(　B　) A．p≥q B．p≤q C．pq D．不确定 [解析]　q＝≥＝＋＝p. 5．已知函数f(x)＝x，a、bR＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　A　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A [解析]　≥≥，又函数f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，f()≤f()≤f()． 二、填空题 6．如果a＋ba＋b，则实数a、b应满足的条件是__a≠b且a≥0，b≥0__. [解析]　a＋ba＋ba＋b－a－b0a(－)＋b(－)0(a－b)(－)0(＋)(－)20 只需a≠b且a、b都不小于零即可． 7．在算式30－＝4×□中的，□内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(，□)应为__(10,5)__. [解析]　设(，□)为(a，b)，则30－a＝4b， 即a＋4b＝30，＋＝(＋)· ＝≥＝， 当且仅当＝，即a＝2b时等号成立． 又有a＋4b＝30，可得a＝10，b＝5. 三、解答题 8．若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lglga＋lgb＋lgc. [解析]　解法一(分析法)： 要证lg＋lg＋lglg a＋lg b＋lg c， 即要证lg(··)lg(abc)， 只需证··abc. ≥0，≥0，≥0， ··≥abc0.(*) 又a、b、c是不全相等的正数， (*)式中等号不成立，原不等式成立． 解法二(综合法)：a、b、cR*， ≥0，≥0，·≥0. 又a、b、c是不全相等的正数， ··abc. ∴lg(··)lg (abc)． lg＋lg＋lglg a＋lg b＋lg c. B级　素养提升 一、选择题 1．设0x1，则a＝，b＝1＋x，c＝中最大的一个是(　C　) A．a B．b C．c D．不确定 [解析]　b－c＝1＋x－＝0， bc. 又b＝1＋x＝a， abc. 2．在ABC中，“·0”是“ABC为锐角三角形”的(　B　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分与不必要条件 [解析]　·0，A为锐角，但B、C的大小不确定，故选B． 3．在R上定义运算a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x(x－2)0的实数x的取值范围为(　B　) A．(0,2) B．(－2,1) C．(－∞，－2)(1＋∞) D．(－1,2) [解析]　x(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－20x2＋x－20－2x1. 4．要使－成立，a、b应满足的条件是(　D　) A．ab0且ab B．ab0且ab C．ab0且ab D．ab0且ab或ab0且ab [解析]　－a－b＋3－3a－b.. ∴当ab0时，有，即ba； 当ab0时，有，即ba. 二、填空题 5．已知a0，b0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为__mn__. [解析]　因为(＋)2＝a＋b＋2a＋b0，所以，所以mn. 6．已知sin x＝，x(，)，则tan (x－)＝__－3__. [解析]　sin x＝，x(，)，cos x＝－， tan x＝－，tan (x－)＝＝－3. 7．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝　－　. [解析]　条件变为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ，两式平方相加可推得结论cos (α－β)＝－. 三、解答题 8．已知a、b、cR＋，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)(－1)(－1)≥8. [分析]　这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结论特点和条件a＋b＋c＝1的合理应用．可用综合法和分析法两种方