§4.6 初等矩阵.pptVIP

* §4.6 初等矩阵 首页 返回 上页 下页 结束 * 首页 返回 上页 下页 结束 * * 第四章 矩阵 §4 矩阵的逆 §3 矩阵乘积的 　　行列式与秩 §2 矩阵的运算　　　 §1 矩阵的概念 §5 矩阵的分块 §7 分块乘法的初等 　　变换及应用举例 §6 初等矩阵 一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵. 定义 一、初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵: (换法矩阵) (倍法矩阵) 以数 乘单位矩阵的第期 i 行 得初等矩阵 (消法矩阵) 1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵. 初等矩阵的性质 2 引理 对任一矩阵 作一初等行(列)变换相当于 对 左(右)乘一个相应的初等矩阵． : 对换 的 两行； : 对换 的 两列． ：用非零数 乘 的第 列； ：用非零数 乘 的第 列． ： 的第 行乘以 加到第 行 ; ： 的第 列乘以 加到第 列． 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，则称A与B等价的．（也称A与B相抵） ①　矩阵的等价关系具有：　 反射性、对称性、传递性. ②　等价矩阵的秩相等． 二、等价矩阵 定义 注： 1) 定理5　任一 矩阵 A 都与一形式为 矩阵等价的有关结论 的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1的个数 等于R(A)(1的个数可以是零). 2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵 使 3) n 级方阵A可逆 A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价. 即 4) n 级方阵A可逆 A能表成一些初等矩阵的积, 定理6 推论1 推论2 存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 两个 矩阵A、B等价 由此得定理5的另一种叙述： 对任一 矩阵A，存在可逆矩阵 , 使 ，其中 ． 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成单位矩阵. 三、利用初等变换求逆阵 原理: 解 例１ 即 初等行变换