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§补充：空间向量与运用（2） 学习目标 1.会求空间直线的方向向量，平面的法向量. 2.会用向量法求空间角与证明空间的平行、垂直问题。 学习过程 一、课前准备（预习教材P28 ~ P30，找出疑惑之处） 复习引入：1. ，，则 2.空间向量的坐标运算若，则 （1）；；（2），（3） 3.共线向量定理：对任意两个向量， ∥的充要条件是存在唯一实数使异面直线所成的角：，则向量分别为直线方向向量，所对应的锐角或直角即为直线所成的角。 ※ 典型例题例1：如图，已知直棱柱ABC-A1B1C1，在ABC中，CA=CB=1，，棱AA1=2，求异面直线BA1，CB1所成的角。 2．线面所成的角：如图直线AP的射影为AO，则为直线AP与平面的夹角，若为平面的法向量，那么有。 ※ 典型例题例2．棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别 为C1D1、B1C1的中点，求点A1D与平面EFBD所成的角。 3．二面角的求法:二面角，平面的法向量平面的法向量，则二面角平面角满足或（即）。 ※ 典型例题例3．如图，平面ABCD，ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成300的角。 (1)求证：EG平面ABCD；(2)若AD=2，求二面角E-FG-G的度数； ※ 学习探究2：用向量证明平行关系 线线平行：若两直线、的方向向量分别为，则。 线面平行：若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 。 面面平行：若两平面的法向量分别为则，。 ※ 典型例题例4．（）如图，直棱柱中，，分别是，的中点，。（Ⅰ）证明：平面（Ⅱ）求二面角的正弦值※ 典型例题例5． (2013.陕西.8) 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, . (Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1; Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积. ※ 学习探究3：用向量证明垂直关系 1.线线垂直：若两直线、的方向向量分别为，则。 2.线面垂直：若直线的方向向量为，平面的法向量为则 。 面面垂直：若两平面的法向量分别为则，。 ※ 典型例题例6（2013.北京.17）如图，在四棱锥中，，，平面底面，和分别是和的中点，求证：（Ⅰ）底面（Ⅱ）平面（Ⅲ）平面平面 ※ 典型例题例7(2013.天津.17)如图, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 侧棱A1A底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. () 证明EF//平面A1CD; () 证明平面A1CD平面A1ABB1; () 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值. 2.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小． 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=，BC=,AA1=c，求异面直线D1B和AC所成的角的余弦值 4.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。求证：PC⊥BC 5.已知正四棱柱与它的侧视图，是上一点，．求证； 6.如图四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是菱形，∠ＤＡＢ＝60°,PD⊥平面ABCD，PD=AD,点E为AB中点，点F为PD中点，求证：(1)平面PED⊥平面PAB ;(2)求二面角F-AB-D的正切值． O A P l E G F D C B A A D B C E A1 B1 C1 图5 P B A E F C D