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§7.2 初等积分法 一、分离变量法 1.可分离变量的微分方程 2.齐次方程 3.可化为齐次的方程 小结 二、一阶线性方程 伯努利方程 小结 三、解高阶方程的降阶法 y(n) = f (x) 型 y = f (x, y) 型 y = f (y, y) 型 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 作变换 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 解 例1 例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 两边求导得 解 解此微分方程 所求曲线为 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 求出通解后，将 代入即得 代入上式 解 例 3 例4 用适当的变量代换解下列微分方程: 解 所求通解为 解 分离变量法得 所求通解为 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 1.齐次方程 2.线性非齐次方程 3.伯努利方程 思考题 求微分方程 的通解. 思考题解答 练 习 题 练习题答案 * 一、分离变量法 二、一阶线性方程 三、解高阶方程的降阶法 解法 为微分方程的解. 分离变量法 形式： 或 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 通解,非全部解 通解,全部解 通解为 解 1、直接法： 直接由几何条件或物理定律列出（因变量与自变量）的微分方程。 2、间接法： 借助中间变量间接地建立因变量与自变量 的联系，列出微分方程。 建立微分方程的方法： 解 由题设条件 衰变规律 解 例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 CO2, 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含0.03%的CO2的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内, 的通入量 的排出量 的通入量 的排出量 的改变量 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1.定义 例 1 求解微分方程 微分方程的解为 解 例 2 求解微分方程 解 微分方程的解为 例 3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 得微分方程 由夹角正切公式得 分离变量 积分得 平方化简得 抛物线 利用变量代换求微分方程的解 解 代入原方程 原方程的通解为 为齐次方程. （其中h和k是待定的常数） 否则为非齐次方程. 2.解法 1.定义 有唯一一组解. 得通解代回 未必有解, 上述方法不能用. 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. 可分离变量. 解 代入原方程得 分离变量法得 得原方程的通解 方程变为 齐次方程 齐次方程的解法 可化为齐次方程的方程 思考题 方程 是否为齐次方程? 思考题解答 方程两边同时对 求导: 原方程是齐次方程. 练 习 题 练习题答案 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 例如 线性的; 非线性的. 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 2. 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐方程通解形式 与齐方程通解相比: * *