11.5第二类曲面积分.pptVIP

一、基本概念 指定了侧的曲面叫有向曲面, 二、第二类曲面积分的概念与性质 这种形式的第二类曲面积分又称为对坐标的曲面 积分. 第二类曲面积分在实际应用中常出现的形式是 注: (1) 式给出了两类曲面积分之间的联系. 其中 为负, 甚至为零, 而且当 改变方向时, 它们都要改 变符号, 与二重积分的面积微分元 总取正值 是有区别的. 要注意到, 可能为正也可能 这里的 （1）、存在条件: （2）、物理意义: （3）第二类曲面积分与有向曲面 的法向量的指向有 关。 如果改变曲面 的法向量的指向, 则积分要改 变符号, 即 （4）第二类曲面积分也有与二重积分类似的性质. 如 积分的可加性等. 三、第二类曲面积分的计算 先考察积分 的计算问题, 其它情 形依此类推. 设光滑曲面 多交于一点, 它在 面上的投影区域为 则 由 有 与平行于 轴的直线 至 ----化为二重积分 上式右端取 号或 号要根据 是锐角还是 钝角而定. 当 时, 有 同理, 如果曲面 由 给出, 则有 如果曲面 由 给出, 则有 当 时, 有 注: 积分曲面更复杂的情形可分片计算之. 当 时, 有 (前正后负) (右正左负) (上正下负) 小结： 第二类曲面积分的计算应注意的问题: (3)曲面S取哪一侧； (2)向哪个坐标面投影； (1)曲面S用什么方程表示； (4)积分前取什么符号。 * 第二类曲面积分 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面分上侧和下侧 曲面分左侧和右侧 莫比乌斯带 在光滑曲面 上任取定一点 并作曲面的法线, 该法线有两个可能的方向, 选定其中一个方向, 如果 (不跨越 曲面的边界) 相应的法向量的 在曲面 上 点 回到原来的 位置时, 方向与原方向相同, 就称 是一个双侧曲面; 径连续地变动后 沿任一路 如果相应的法向量的方向与原方向相反, 是一个单侧曲面. 就称 通常我们遇到的曲面都是双侧的, 如球面、 旋转 抛物面、 马鞍面等. 但是单侧曲面也是存在的, 所 1、曲面侧的概念 谓的莫比乌斯带就是一个典型的单侧曲面的例子. 典型双侧曲面 ? 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 播放 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 今后我们总假定所考虑的曲面是双侧的. 对于双 侧曲面, 我们可通过选定曲面上的一个法向量来 规定曲面的侧. 反之, 我们也可通过选定曲面的侧来规定曲面上 各点处的法向量的指向. 2、有向曲面的概念（曲面的定侧） 例如? 由方程z?z(x? y)表示的曲面为双侧曲面，可分为上侧与下侧? 设 为曲面上 的法向量，则当cos??0时? n所指向的 一侧是上侧? 同理 当cos??0时? n所指向的一侧就是 下侧? 如果取定曲面的上侧，我们就认为它的法向量指向被取定。 曲面的侧确定与它的法向量有何关系呢？ 其方向用法向量指向表示。 方向余弦 0 为前侧 0 为后侧 封闭曲面 0 为右侧 0 为左侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 侧的规定 类似地? 如果曲面的方程为y?y(z? x)? 则曲面分为左侧与右侧。当cos??0时，法向量指向的一侧是曲面的右侧?当cos??0时，法向量指向的一侧是曲面的左侧? 如果曲面的方程为x?x(y? z)? 则曲面分为前侧与后侧。当cos??0时，法向量指向的一侧是曲面的前侧?当cos??0时，法向量指向的一侧是曲面的后侧? 3、曲面在坐标面上的投影 在有向曲面?上取一小块曲面?S? 用(??)xy表示?S在xOy面上的投影区域的面积? 假定?S上各点处的法向量与z轴的夹角?的余弦cos?有相同的符号(即cos?都是正的或都是负的)? 我们规定 在 面上的投影 类似地, 可以定义 在 及 面上的投影。 1、实例: 流向平面一侧的流量. 2、第二类曲面积分的概念与性质 定义 设 为光滑的有向曲面, 其上任一点 处的单位法向量 又设 其中函数 在 上有界, 则有函数 它在 上的第一类曲面积分 ，称为函数 在有向曲面 上的第二类曲面积分. 在第二类曲面积分 中, 我们称 为 于是, 第