《几何原本》与《九章算术》——中西古代数学思想的差异及教学的启示.pdfVIP

2008年第1期 中学教研 (数学) ·45· 《几 何 原 本 》与 《九 章 算 术 》 — — 中西古代数学思想的差异及教学的启示 ●何·鸾 邓 鹏 (四川西华师范大学数学与信息学院 637002) 欧几里得的《几何原本》和中国古代的《九章算术》是2 与之辉映的《九章算术》，包括方田、粟米、衰分、少广、 部里程碑式的名著，它们分别以其突出的贡献和重大的历 商功、均输、盈不足、方程、勾股，共9章246个问题202个 史意义，在人类科学史尤其是数学史上各领风骚数千年，直 “术”．其中“题”(问题)源自社会，“答”(一个问题的解答) 到今天对后世的数学研究和发展仍能带来启迪作用．本文 和“术”(一类问题的算法)服务于社会，与当时的社会生 仅谈一谈其中折射出的东西方古代数学思想的差异，及对 产、管理以及社会生活的其他领域有着密切的、直接的联 当今新课程改革下中学数学课程及教学的启示． 系，与外界经常进行信息交换 j．《九章算术》采用从个别 1 《几何原本》与《九章算术》反映的中西方古代数学思想 到一般的推导方式，前6章中定的是实用名称，反映了数学 的差异 在不同领域的应用，编写结构一般都是从某一社会生活领 1．1 背景：对理性与经世致用的目标的追求 域中的一个或几个个别问题出发，归纳出某一类问题的一 大约公元前300年，即史称所谓的“古希腊时期”，从泰 般解法，再把各类算法综合起来，得到解决该领域中各种问 勒斯开创命题的证明、毕达哥拉斯学派发现勾股定理，到智 题的方法，构成一章；而后3章“从其专术得名”L6 J，一般按 人学派提出几何3大作图问题，尤其是柏拉图学派强调学 解决问题的需要归纳出相同的计算方法，提炼出数学模型， 习几何以培养逻辑思维，“要求根据一些公认的原理作出演 使数学能在社会生活各个领域中更广泛的应用．因此，《九 绎证明……竖起了演绎系统化的里程碑” l J，以及亚里士 章算术》所构建的是一个开放的归纳体系． 多德提出三段论的形式逻辑思想及公理方法，数学脱离了 1．3 形式：内容的公理化与题解的算法化 哲学和天文学成为独立的学科，正是在这样的背景下，欧几 图形的性质和空间位置关系，是欧几里得着重研究的 里得总结、梳理了前人的工作成果，创造性地写成了《几何 对象，他正是从23条定义、5条公设、5条公理这样的抽象 原本》，将西方古代数学(即几何学)建立在坚固的理性基 概念和一般性命题出发，探讨这些概念和命题之间的逻辑 础之上 ， 关系，由一些给定的概念和命题推演出另一些概念和命题， 几乎同时，在地球的另一边，古代的中算家正在使用算 得到了《几何原本》中的467个定理，构成了公理化的体 筹这种工具，寻求关系社会生产、生活各方面种种应用问题 系 ，因此这个体系也是抽象的，例如在《几何原本》中，研 的普遍解法而演算着，他们总结、编写，并几度整理、校注， 究了“所有的”矩形(即抽象的矩形概念)的性质，但不研究 创作出《九章算术》这部数学经典，影响中国乃至东亚地区 任何一个具体的矩形实物的大小．这样的例子不胜枚举，欧 两千多年的历史，而东方古代数学即算术(算法)也成为实 几里得在建造他的几何学大厦的伟大工程时，所选择的材 用性的工具，“土地的丈量、谷仓容积、堤坝和河渠的修建、 料(定义、公设、公理)是抽象的，所搭建的脚手架(逻辑推 税收、兑换率——这些似乎都是最重要的实际问题，为数学 理形式)也是抽象的，最后建成了整个大厦(得到的定理， 而数学的场合极少．这并不意味着中国计算人员对真理不