第四章 稳定性分析——Nyquist 稳定性判据(4-3)B.pptVIP

第四章 控制系统的稳定性分析 第四节 Nyquist 稳定性判据 基本思想：利用系统的开环频率特性判别闭 环系统的稳定性。 一、预备知识——幅角定理 幅角定理： F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原点（Z – P）圈。即 N=Z-P （或逆时针绕原点N= P - Z圈） 其中：N为圈数 逆时针为正， 顺时针为负。 二、奈魁斯特稳定性判据 1、线性系统的特征方程 运动方程一般形式： r(t)——输入 c(t)——输出 特征方程 系统传递函数 系统结构为： 比较得到闭环系统的特征方程（闭环传递函数的分母＝0） 2．奈氏路径 令： 顺时针方向包围整个s 右半平面。当F(s) 有若干个极点处 于s平面虚轴（包 括原点）上时， 则以这些点为圆 心，作半径为无 穷小的半圆，按 逆时针方向从右 侧绕过这些点。 3. 奈氏判据 设： ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF 逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0 即（N= P ）时，说明系统闭环传递函数无极 点在 s 右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不 稳定的。 （2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据 因为1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 之间相差1，所以系统的稳定性可表达成： 奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件：s沿着奈氏路径绕一 圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈（N= P ）。 P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。 a.若P=0，且 N=0，即曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定； b.若P≠0，且N=P，即曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭 环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=P-N c.若曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点 分布在s平面的虚轴上。 例: 一系统开环传递函数为： 试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性 当 变 化时，系统的幅相曲线如图所示。 因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P=1。 图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。 根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0 所以系统稳定。 绘画乃氏曲线过程中： 当s从-j0转到+j0时，G(s)H(s)的奈氏曲线以半径 为无穷大，顺时针转过 。 当 s 沿奈氏曲线从+j∞到 - j∞时，对nm的系 统，G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无穷小半径，绕原 点逆时针转过（ n - m）π。 例： 一系统的开环传递函数为： 试判断系统的稳定性 解： 先作+j 0到+j∞时的 G(jω)H(jω)曲线。再根 据对称性，作出-j 0到 -j∞时的G(jω)H(jω)曲线。 当 时， s从- j0转到+j0， G(jω)H(jω) 曲线以半径为无 穷大，顺时针转过π角（图中 虚线）。并可求得，? = ?1时， G(j?