2016数学（高教版）授课教案：复习题6 B .docVIP

数学（高教版）授课教案 授课日期 4月 16 日 4 月 16 日 授课班级 人文513-13 人文513-14 学期授课计划 的章节顺序： 复习题 授 课 目 的 与 要 求： 1熟悉向量的性质及运算律； 2能根据向量性质特点构造向量； 3熟练平面几何性质在解题中应用； 4熟练向量求解的坐标化思路． 教学方法：讲练结合 授课主要教具： 新课重点与难点： 重点：向量的坐标表示的应用。 难点：能根据向量性质特点构造向量。 课外作业（练习题与思考题）：P164.6.7. 任课教师：姚靖 [知识纲要] 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2 (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作＝，＝，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos(叫与的数量积，记作(，即有( = ||||cos(， （０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0 [课堂练习] 例1利用向量知识证明下列各式 (1)x2＋y2≥2xy (2)｜x｜2＋｜y｜2≥2x·y 分析：(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系 (2)题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证 证明：(1)设a＝（x，y），b＝（y，x）则a·b＝xy＋yx＝2xy ｜a｜·｜b｜＝ 又a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ(其中θ为a，b夹角) ≤｜a｜·｜b｜ ∴x2＋y2≥2xy (2)设x，y的夹角为θ， 则x·y＝｜x｜·｜y｜cosθ≤｜x｜·｜y｜≤ ∴｜x｜2＋｜y｜2≥2x·y 评述： (1)上述结论表明，重要不等式a2＋b2≥2ab，无论对于实数还是向量，都成立 (2)在(2)题证明过程中，由于｜x｜，｜y｜是实数，故可以应用重要不等式求证 例2利用向量知识证明 (a1b1＋a2b2)2≤（a12＋a22）·（b12＋b22） 分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量 证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2） 则a·b＝a1b1＋a2b2， ｜a｜2＝a12＋a22，｜b｜2＝b12＋b22 ∵a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ≤｜a｜·｜b｜(其中θ为a，b夹角) ∴（a·b）2≤｜a｜2·｜b｜2 ∴（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22） 评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会 [本课小结] 通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法 2