2016数学（高教版）授课教案：圆的方程A.docVIP

数学（高教版）授课教案 授课日期 5月 7 日 5月 7 日 授课班级 人文513-13 人文513-14 学期授课计划 的章节顺序： 7.5 圆的方程 授 课 目 的 与 要 求： 1.了解圆的定义； 2.掌握圆的标准方程和一般方程． 教学方法：讲练结合 授课主要教具： 新课重点与难点： 重点：圆的标准方程和一般方程的理解与应用。 难点：对圆的标准方程和一般方程的正确认识。 课外作业（练习题与思考题）： 任课教师：姚靖 [知识纲要] 一、圆的标准方程 　　1. 圆的标准方程：方程表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆. 　　2. 求圆的标准方程的一般步骤为： 　　(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为． 　　(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组； 　　(3)解此方程组，求出a，b，r的值； . 　　(4)将所得的a，b，r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程． 　　3. 求圆的标准方程的常用方法： 　（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程； 　（2）待定系数法：先根据条件列出关于a，b，r的方程组，然后解出a，b，r，再代入标准方程. 二、圆的一般方程 1.方程表示的曲线不一定是圆，只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程. 2. 对于方程 . (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆； （2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）; （3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 3.圆的一般方程的特点： (1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D，E，F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小关系 点在圆内；点在圆上；点在圆外 即（1）点在圆上等价于； （2）点在圆内部等价于； （3）点在圆外部等价于． 2.涉及最值： （1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值 （2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值 思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直） 练习：1.已知点在圆上，求的值． 2.设点P(2,-3)和圆(x+4)2+(y-5)2=9上各点距离为d,则d的最大值为______ 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（为圆心到直线的距离） （1）相离没有公共点 （2）相切只有一个公共点 （3）相交有两个公共点 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线与圆相切意味着什么？：圆心到直线的距离恰好等于半径 （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 i）点在圆外 如定点，圆：，[] 第一步：设切线方程 第二步：通过，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上——千万不要漏了！ ii）点在圆上 （1）若点在圆上，则切线方程为 （2）若点在圆上，则切线方程为 ③求切线长：利用基本图形， 求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理——常用 弦长公式：（暂作了解，无需掌握） （2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题。 [课堂练习] 例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为． ∵圆心在上，故． ∴圆的方程为． 又∵该圆过、两点． ∴ 解之得：，． 所以所求圆的方程为． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即． 又知圆心在直线上，故圆心坐标为 ∴半径． 故所求圆的方程为． 又点到圆心的距离为 ． ∴点在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕