2016数学（高教版）授课教案：向量的数量积A.docVIP

数学（高教版）授课教案 授课日期 4月 9 日 4月 9 日 授课班级 人文513-13 人文513-14 学期授课计划 的章节顺序： 6.5 向量的数量积A 授 课 目 的 与 要 求： 要求学生 1掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4掌握向量垂直的条件 教学方法：讲练结合 授课主要教具： 新课重点与难点： 重点：平面向量的数量积定义 难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 课外作业（练习题与思考题）： 任课教师：姚靖 6.5 向量的数量积A [新课引入] 平面向量的坐标表示 分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 把叫做向量的（直角）坐标，记作 平面向量的坐标运算 若，， 则，， 若，，则 ∥ (()的充要条件是x1y2-x2y1=0 [新课讲授] ．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0(≤(≤180( 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos(叫ａ与ｂ的数量积，记作a(b，即有a(b = |a||b|cos(， （０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 (探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos(的符号所决定 （2）两个向量的数量积称为内积，写成a(b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a(b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替 （3）在实数中，若a(0，且a(b=0，则b=0；但是在数量积中，若a(0，且a(b=0，不能推出b=0因为其中cos(有可能为0 （4）已知实数a、b、c(b(0)，则ab=bc ( a=c但是a(b = b(c a = c 如右图：a(b = |a||b|cos( = |b||OA|，b(c = |b||c|cos( = |b||OA| ( a(b = b(c 但a ( c (5)在实数中，有(a(b)c = a(b(c)，但是(a(b)c ( a(b(c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a(b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos(的乘积 4．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 1(e(a = a(e =|a|cos( 2(a(b ( a(b = 0 3(当a与b同向时，a(b = |a||b|；当a与b反向时，a(b = (|a||b| 特别的a(a = |a|2或 4(cos( = 5(|a(b| ≤ |a||b| [课堂练习] 1．判断正误，并简要说明理由 ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２ 解：上述8个命题中只有③⑧正确； 对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０； 对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜； 对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс 则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ 评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律 [本课小结] 1 要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律. 2能运用它们解决相关的问题 2 C