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輪読8.6章~8.7章 担当 長谷川禎彦 確率微分方程式 ウィーナー過程 • 微分形式型（数学，金融） – W ：Wiener過程 • 微分方程式型（物理，工学，生物） – ξ : 白色ガウスノイズ – ξ (s) ξ (t)=δ(s-t) 白色ノイズ 8.6 WIENER PROCESS Wiener過程 • 要はドリフトのない，拡散するだけのブラウン 運動 Wiener過程 W(t) t t1 t2 Wiener過程 • W(t)の標準偏差がsqrt(t)であるので Wiener過程 • 遷移確率は定義より • これから，以下を満たす（i）’—(iii)’ (i)’ (ii)’ (iii)’ Wiener過程の積分 • W(t) は至るところ微分不可能な関数なので以 下のリーマン積分は意味を持たない • 有界変動関数ではないので，リーマンスティ ルチェス積分も定義出来ない （補足）有界変動関数 • 有界閉区間[0,1]において，あるM＞０が存在 して，どのような有限個の分割についても以 下が成り立つとき，有界変動関数という • 例：（広義）単調増加な関数は有界変動関数 （補足）リーマン・スティルチェス積分 • F ：有界変動関数 • 0=x0x1…xn=1 • F(x)=xの時，通常のリーマン積分に帰着 （補足）リーマン・スティルチェス積分 • Fの微分が存在して連続ならば，平均値の定 理より （補足）リーマン・スティルチェス積分 • 分布関数をF(x)とすると，F(x)は広義単調増加 （有界変動関数）なので，確率密度関数p(x)を 用いて • 離散的な場合でも，確率関数Pr(x)を用いて 確率微分方程式の積分 • 至る所，微分不可能関数の積分 白色ノイズ • リーマン積分，ルベーグ積分出来ない • 新たに積分を定義する – Ito積分 – Stratonovich積分 8.7 ITO STOCHASTIC INTEGRAL ランダム関数 • X (t): 確率過程（e.g. ウィーナー過程） • : 確率変数の関数 – Ito積分の定義より，どのような形でもOK • Ito積分では以下を仮定 （補足）リーマン・スティルチェス積分 F : 有界変動関数 F (x)=x の場合は通常のリーマン積分 リーマン・スティルチェス積分可能 Definition 8.5 • f (t) はランダム関数f (X (t),t) • W(t) はウィーナー過程 Ito積分 みかけはリーマン・スティルチェス積分 Stratonovich積分 Definition 8.5 • l.i.m.の意味は以下で定義される とも記述される Jensen の