【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2 类比推理课后知能检测 北师大版选修2-2.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2 类比推理课后知能检测 北师大版选修2-2 一、选择题 1．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是(　　) A．三角形　　　　　　　B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 【解析】　只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C. 【答案】　C 2．关于合情推理的说法不正确的是(　　) 合情推理是“合乎情理”的推理，因此其猜想的结论一定是正确的；合情推理是由一般到特殊的推理；合情推理可以用来对一些数学命题进行证明；归纳推理是合情推理，因此合情推理就是归纳推理 A． B． C． D． 【解析】　根据合情推理的定义可知，归纳推理与类比推理统称为合情推理，其中的归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，他们的结论可真可假，但都不能用来证明数学命题，因此均不正确． 【答案】　D 3．下列几种推理过程是类比推理的是(　　) A．两直线平行，内错角相等 B．由平面三角形性质，猜想空间四面体性质 C．由数列的前几项，猜想数列的通项公式 D．某校高二年级有10个班，1班51人，2班53人，3班52人，猜想各班都超过50人 【解析】　四个选项中，只有B为类比推理，故选B. 【答案】　B 4．下列类比推理：(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn； loga(xy)＝loga x＋loga y与sin(a＋b)类比，则有sin(a＋b)＝sin ab； (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　由类比定义知的结论错，的结论正确． 【答案】　B 5．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面积公式S扇等于(　　) A. B. C. D．不可类比 【解析】　由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 【答案】　C 二、填空题 6．在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为________． 【解析】　由面积公式和体积公式的特点可以知道，面积是二条线乘积，而体积涉及到三条线段乘积，故体积比应是棱长比的立方，即18. 【答案】　18 7．已知{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有： (m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0 类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，有________． 【解析】　由等差、等比数列的运算的类比“和―→积，差―→商，积―→乘方” 得a·a·a＝1. 【答案】　a·a·a＝1 8．在RtABC中，若C＝90°，AC＝b，BC＝a，则ABC的外接圆半径r＝，将此结论类比到空间有___________________________________. 【解析】　RtABC类比到空间为三棱锥A－BCD，且ABAC，ABAD，ACAD；ABC的外接圆类比到空间为三棱锥A－BCD的外接球． 【答案】　在三棱锥A－BCD中，若ABAC，ABAD，ACAD，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则三棱锥A－BCD的外接球半径R＝. 三、解答题 9．在椭圆中，有一结论：过椭圆＋＝1(a＞b＞0)上不在顶点的任意一点P与长轴两端点A1、A2连线，则直线PA1与PA2斜率之积为－，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明． 【解】　过双曲线－＝1上不在顶点的任意一点P与实轴两端点A1、A2连线，则直线PA1与PA2斜率之积为. 证明如下：设点P(x0，y0)，点A1(a,0)，A2(－a,0)． 椭圆中：kPA1·kPA2＝·＝＝＝－； 双曲线中：kPA1·kPA2＝＝＝. 10．在RtABC中，ABAC，ADBC于D，求证： ＝＋，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由． 图 【解】　如图所示，由射影定理知 AD2＝BD·DC， AB2＝BD·BC， AC2＝BC·DC， ＝ ＝＝. 又BC2＝AB2＋AC2， ＝＝＋. 所以＝＋. 类比ABAC，ADBC猜想： 四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直， AE平面BCD，则＝＋＋. 图 如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF. AB⊥AC，ABAD， AB⊥平面ACD. 而AF平面ACD， AB⊥AF， 在RtABF中，AEBF， ＝＋. 在RtACD中，AFCD，＝＋， ＝＋＋，故猜想正确． 11．在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结