（文理通用）高三数学一轮复习 三角函数与平面向量的综合应用专项强化训练精品试题.docVIP

PAGE  【全程复习方略】（文理通用）2015届高三数学一轮复习 三角函数与平面向量的综合应用专项强化训练精品试题 (45分钟　100分) 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.已知向量a=(1,3),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则tanθ=(　　) A.33 B.3 C.-33 D.-3 【解析】选B.因为a∥b, 所以sinθ-3cosθ=0, 即sinθ=3cosθ. 故tanθ=3. 2.(2014·金华模拟)a=(1,cosθ),b=(-1,2cosθ),若a⊥b,则cos2θ等于(　　) A.-1 B.0 C.12 D.22 【解析】选B.因为a⊥b, 所以a·b=-1+2cos2θ=0, 即cos2θ=12, 故cos2θ=2cos2θ-1=0. 3.(2014·衡水模拟)P是△ABC内的一点,AP→=13(AB→+AC→),则△ABC的面积与△ABP的面积之比为(　　) A.3 B.6 C.2 D.32 【解析】选A.设D是BC的中点,则AB→+AC→=2AD→, 由题意,得AP→=23AD→, 所以D在AP上,且P是△ABC的重心. 故S△ABCS△ABP=31=3. 4.已知定义在区间(0,3)上的函数f(x)的图象如图所示,若a=(f(x),0),b=(cosx,1),则不等式a·b0的解集是(　　) A.(0,1) B.(0,1] C.(0,1)∪π2,3 D.(0,1]∪π2,3 【解析】选C.由题意,得a·b=f(x)cosx0, 所以f(x)0,cosx0或f(x)0,cosx0. 由x∈0,π2时cosx0,x∈π2,π时cosx0及函数f(x)的图象易得原不等式的解集是(0,1)∪π2,3. 5.已知a=cosθ2,sinθ2,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围 是(　　) A.(0,1) B.(0,1] C.(0,2) D.(0,2] 【解析】选C.因为a-b =cosθ2-cosθ,sinθ2-sinθ, 所以|a-b|=cosθ2-cosθ2+sinθ2-sinθ2 =2-2cosθ2cosθ+sinθ2sinθ =2-2cosθ2-θ =2-2cosθ2, 因为θ∈(0,π), 所以θ2∈0,π2,cosθ2∈(0,1). 故|a-b|∈(0,2). 二、填空题(每小题6分,共18分) 6.在平面直角坐标系中,设i,j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,O为坐标原点,且OA→=-2i+j,OB→=4i+3j,则△OAB的面积等于　　　. 【解析】由题可知|OA→|=5,|OB→|=5,OA→·OB→=-5, 所以cosOA→,OB→=-555=-15,sinOA→,OB→=25,所求面积为S=12×5×5×25=5. 答案:5 7.已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2),若|a|= |b|,θ∈(0,π),则θ的值是　　　　. 【解析】因为|a|=|b|, 所以sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=1+4, 即sin2θ=1+sinθcosθ,sin2θ+cos2θ=-1, sin2θ+π4=-22, 因为θ∈(0,π), 所以π42θ+π49π4, 所以2θ+π4=5π4或74π. 即θ=π2或34π. 答案:π2或34π 8.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且α-β≠kπ,k∈Z,则a与b一定满足:①a与b的夹角等于α-β;②a⊥b;③a∥b;④(a+b)⊥(a-b).其中正确结论的序号为　　　　　. 【解析】对于①,设a与b的夹角为θ, 则cosθ= QUOTE a·b|a||b|  =cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β), 因为θ∈[0,π],α-β≠kπ,k∈Z, 所以θ不一定等于α-β.故①错误; 对于②,因为a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β), 又cos(α-β)的值并不恒为0, 所以a⊥b不一定成立,故②错误; 对于③,因为cosαsinβ-sinαcosβ =sin(β-α)=-sin(α-β), 由α-β≠kπ,k∈Z,知-sin(α-β)≠0, 所以a∥b不成立,故③错误; 对于④,因为(a+b)·(a-b)=a2-b2 =|a|2-|b|2=0, 所以(a+b)⊥(a-b),故④正确. 答案:④ 三、解答题(每小题13分,共52分) 9.如图,以Ox为始边作角α与β(0βαπ),它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点P的坐标为-35,45. (1)求sin2α+cos2α+11+tanα的值. (2)若OP→·OQ→=0,求