（文理通用）高三数学一轮复习 7.2空间几何体的表面积与体积精品试题.docVIP

PAGE  空间几何体的表面积与体积 (45分钟　100分) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径是(　　) A.3　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 【解析】选B.设球的半径为R,则43πR3=4πR2,所以R=3. 2.(2013·湖州模拟)轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是(　　) A.1∶2 B.2∶3 C.1∶3 D.1∶4 【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,则圆柱的侧面积S侧=2πr·2r=4πr2,圆柱的全面积S全=2πr·2r+2πr2=6πr2, 所以S侧∶S全=2∶3. 3.(2013·山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,该四棱锥侧面积和体积分别是(　　) A.45,8 B.45,83 C.4(5+1),83 D.8,8 【解析】选B.由题干图知,此棱锥高为2,底面正方形的边长为2,V=13×2×2×2=83, 侧面积需要计算侧面三角形的高h=22+12=5, S侧=4×12×2×5=45. 4.(2013·湖南高考)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于(　　) A.32 B.1 C.2+12 D.2 【解析】选D.根据条件得知正视图和侧视图一样,是正方体的一个对角面,故面积相等. 5.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm,瓶里所装的水深为8cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5cm,则钢球的半径为(　　) A.1 cm B.1.2 cm C.1.5 cm D.2 cm 【解析】选C.因为V球=43πR3=π×32×8.5-π×32×8=4.5π,所以R=32=1.5(cm). 【加固训练】圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是 　　　　　　cm. 【解析】设球半径为r,则由3V球+V水=V柱, 可得3×43πr3+πr2×8=πr2×6r,解得r=4. 答案:4 6.(2014·温州模拟)已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(　　) A.8 　　 B.203 C.173 　　 D.143 【解析】选C.由三视图可知,该几何体如图,即一个正方体由一个平面截去了一个三棱台,所以其体积V=V正方体-VAEF-A1B1D1=23-13× 212+12×2+2=8-73=173. 7.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(　　) A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 【解析】选B.由于长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,则长方体的体对角线长为(2a)2+a2+a2=6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线,所以2R=6a.所以S球=4πR2=6πa2. 【加固训练】(2013·广州模拟)设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则S1S2的值等于(　　) A.2π B.6π C.π6 D.π2 【解析】选D.设正方体的棱长为a,则球的半径为R=32a,所以S1S2=4πR26a2= 2π34a23a2=π2. 8.(能力挑战题)某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为(　　) A.16 B.13 C.23 D.12 【思路点拨】由三视图画出相应的直观图,然后构造出关于a,b的关系式,利用基本不等式求最值. 【解析】选D.由题意知,该几何体的直观图如图所示, 且AC=6,BD=1,BC=b,AB=a. 设CD=x,AD=y, 则x2+y2=6,x2+1=b2, y2+1=a2,消去x2,y2得a2+b2=8≥(a+b)22, 所以a+b≤4,当且仅当a=b=2时等号成立,此时x=3,y=3,所以V=13×12×1×3×3=12. 【误区警示】解答本题常见的错误是忽视a+b取最大值这一条件. 二、填空题(每小题5分,共20分) 9.(2014·宁波模拟)三棱柱的三视图(正视图和俯视图是正方形,侧视图是等腰直角三角形)如图所示,则这个三棱柱的全面积等于　　　　　　. 【解析】由三视图可知:该三棱柱的形状如图, 其S全=S△ABC+S△A1B1C1+SAA1B1B+SAA1C1C+SBB1C1C =12×2×2+12×2×2+2×2+2×2+2×22=12+42. 答案:12+42 10.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD=a,则三棱锥D -ABC的体积为　　　　. 【