（文理通用）高三数学一轮复习 6.4基本不等式精品试题.docVIP

PAGE  基本不等式 (45分钟　100分) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(2013·杭州模拟)若a,b∈R且ab0,则下列不等式中,恒成立的是(　　) A.a+b≥2ab B.1a+1b2ab C.ba+ab≥2 D.a2+b22ab 【解析】选C.因为ab0,所以ba0,ab0. 由基本不等式得ba+ab≥2, 当且仅当ba=ab, 即a=b时等号成立.故选C. 【加固训练】设0ab,则下列不等式中正确的是(　　) A.ababa+b2 B.aaba+b2b C.aabba+b2 D.abaa+b2b 【解析】选B.方法一:令a=1,b=4, 则ab=2,a+b2=52, 所以aaba+b2b. 方法二:因为0ab,所以a2ab, 所以aab,a+b2b, 所以a+b2b,所以aaba+b2b. 2.(2013·韶关模拟)若a1,则a+1a-1的最大值是(　　) A.3　　　　 B.a　　　 　C.-1　　　　D.2aa-1 【解析】选C.因为a1,所以a-10, 因此a+1a-1=a-1+1a-1+1 ≤-2(1-a)·11-a+1=-1, 当且仅当1-a=11-a, 即a=0时取最大值-1,故选C. 3.当x0时,函数f(x)=2xx2+1有(　　) A.最小值1 B.最大值1 C.最小值2 D.最大值2 【思路点拨】利用x0将函数分子、分母同除以x后利用基本不等式可解. 【解析】选B.由x0得f(x)=2xx2+1=2x+1x≤22x·1x=1,等号成立条件是x=1. 4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围 是(　　) A.-∞,14 B.0,14 C.-14,0 D.-∞,14 【思路点拨】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解. 【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2), 故-2a-2b+2=0,即a+b=1, 故ab≤a+b22=14. 5.(2013·台州模拟)已知a0,b0,且2是2a与b的等差中项,则1ab的最小值 为(　　) A.14 B.12 C.2 D.4 【解析】选B.由已知可得2a+b=4,因此4≥22ab,所以0ab≤2,故1ab≥12,即1ab的最小值为12,当且仅当a=1,b=2时取等号. 6.已知a0,b0,a+b=2,则1a+4b的最小值是(　　) A.72 B.4 C.92 D.5 【解析】选C.由已知可得1a+4b=a+b2·1a+4b=12+2ab+b2a+2≥52+22ab·b2a=92,当且仅当a=23,b=43时取等号,即1a+4b的最小值是92. 7.若a0,b0,且a+b=1,则ab+1ab的最小值为(　　) A.2 B.4 C.174 D.22 【思路点拨】由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解. 【解析】选C.由a+b=1,a0,b0得 2ab≤a+b=1,所以ab≤12,所以ab≤14. 令ab=t,则0t≤14, 则ab+1ab=t+1t,结合函数的图象可知y=t+1t在(0,14]上单调递减,故当t=14时,t+1t有最小值为14+4=174. 8.(2012·浙江高考)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(　　) A.245 B.285 C.5 D.6 【解析】选C.由x+3y=5xy可得15y+35x=1, 所以3x+4y=(3x+4y)15y+35x =95+45+3x5y+12y5x ≥135+23x5y·12y5x=135+125=5, 当且仅当x=1,y=12时取等号, 故3x+4y的最小值是5. 【误区警示】本题在求解中容易出现的错误是:对x+3y运用基本不等式得到xy的范围,再对3x+4y运用基本不等式,然后通过不等式的传递性得到3x+4y的最值,忽视了基本不等式中等号成立的条件,没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致,从而导致错误. 【方法技巧】妙用“1”的代换求代数式的最值 　　在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子的值为常数,然后将欲求最值的代数式乘上常数,再对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最值. 二、填空题(每小题5分,共20分) 9.已知x54,则函数y=4x-2+14x-5的最大值为　　　　　　. 【解析】因为x54,所以5-4x0, 所以y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3 ≤-2+3=1,当且仅当5-4x=15-4x, 即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1. 答案:1 1