浙江师范大学《高等数学》D12_5幂级数的应用.pptVIP

第五节 一、近似计算 例2. 计算 说明: 在展开式 例3. 利用 例4. 计算积分 例5. 计算积分 二、微分方程的幂级数解法 例6. 2. 二阶齐次线性微分方程问题 例7. 三、欧拉(Euler)公式 定义: 复变量 备用题 1. 2. 整理后得: 欧拉 (1707 – 1783) 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 一、近似计算 二、微分方程的幂级数解法 函数的幂级数展开式的应用 第十二章 三、欧拉公式 例1. 计算 的近似值, 精确到 解: 的近似值 ,使准确到 解: 已知 故 令 得 于是有 用此式求 ln2 计算量大 在上述展开式中取前四项, 中,令 得 具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如 ( n为自然数) , 求 误差. 解: 先把角度化为弧度 (弧度) 的近似值 , 并估计 这时误差不超过10-5 ( 取 的近似值, 精确到 解: 则 n 应满足 则所求积分近似值为 欲使截断误差 的近似值, 精确到 解: 由于 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间 上连续, 且有幂级数展开式 : 代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 由此确定的级数①即为定解问题在收敛区间内的解. ① 设所求解为 幂级数解法 本质上就是 待定系数法 1. 一阶微分方程的情形 解: 根据初始条件, 设所求特解为 代入原方程, 得 比较同次幂系数, 得 故所求解的幂级数前几项为 定理: 则在－R x R 内方程 ② 必有幂级数解: ② 设 P(x), Q(x) 在 (－R, R ) 内可展成 x 的幂级数, (证明略) 此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用, 很多 重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的. 的一个特解. 解: 设特解为 代入原方程整理得 比较系数得: 可任意取值, 因是求特解, 故取 从而得 当n 4 时, 因此 注意到: 此题的上述特解即为 则称 ③ 收敛 , 且其和为 绝对收敛 收敛 . 若 收敛, 若 对复数项级数 ③ 绝对收敛 则称 ③ 绝对收敛. 由于 , 故知 的指数函数为 易证它在整个复平面上绝对收敛 . 当 y = 0 时, 它与实指数函数 当 x = 0 时, 的幂级数展式一致. （欧拉公式） （也称欧拉公式） 利用欧拉公式可得复数的指数形式 则 据此可得 (德莫弗公式) 利用幂级数的乘法, 不难验证 特别有 作业 P291 1 (1),(3); 2 (2)； 3 (3); 4 (2)； 6 (1) 验证函数 满足微分方程 (2) 利用(1)的结果求幂级数 的和. (2002考研) 解: (1) 所以 (2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足 其特征方程: 特征根: ∴齐次方程通解为 设非齐次方程特解为 代入原方程得 故非齐次方程通解为 代入初始条件可得 故所求级数的和 解: 求解勒让德 (Legendre) 方程 展成幂级数, 故方程满足定理条件. 设方程的解为 代入④ : ④ 因方程特点, 不用将 P, Q 进行展开 定理 比较系数, 得 例如: 于是得勒让德方程的通解: 上式中两个级数都在(－1, 1 )内收敛, 可以任意取, 它们是方程的 两个线性无关特解. 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院