浙江师范大学《高等数学》D12_3幂级数.pptVIP

第三节 一、 函数项级数的概念 例如, 等比级数 二、幂级数及其收敛性 定理 1. ( Abel定理 ) 推论 ： 定理2. 若 例1.求幂级数 例2. 求下列幂级数的收敛域 : 例3. 例4. 三、幂级数的运算 说明: 性质1 若幂级数 例5. 例6. 例7. 求级数 例8. 内容小结 作 业 答: 不能. 阿贝尔(1802 – 1829) 备用题 求极限 挪威数学家, 近代数学发展的先驱者. 他在22岁时就解决了用根式解5 次方程 的不可能性问题 , 他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群. 在级数研究中, 他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开 拓了道路. 数学家们工作150年. 类代数方程, 他是椭圆函数 C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群, 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十二章 设 为定义在区间 I 上的函数项无穷级数 ，简称（函数项）级数. 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 . 在收敛域上, 对应于任意x，函数项级数成为一收敛的常数项级数，有一确定的和 称它为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有： 表示函数项级数前 n 项的和, 即 是 x 的函数， 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 其收敛域与发散域, 即 称 常数乘幂函数 收敛 发散 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x ，幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 发 散 发 散 收 敛 证: 设x0，是幂级数的收敛点，即 收敛, 则必有 于是存在 常数 M 0, 使 则有级数一般项的绝对值： 当 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之. 假设有一点 满足不等式 所以若当 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, 证毕 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = +? 时, 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ] 可能收敛也可能发散 . 外发散; 在 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 若幂级数 也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的 正数R存在 ，使得： (-R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， (-R , R ) 称为收敛区间. 的系数满足 证:考察幂级数各项取绝对值所成的级数，这级数相邻两项之比： 1) 若? ≠0, 则根据比值审敛法可知: 1) 当? ≠0 时, 2) 当? ＝0 时, 3) 当? ＝+∞时, 则这幂级数的收敛半径： 2) 若 则根据比值审敛法可知, 绝对收敛 , 3) 若 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数发 对任意 x 原级数 因此 散 ,因此 的收敛半径为 说明:据此定理 因此级数的收敛半径 当 原级数发散. 即 时, 当 原级数收敛; 即 时, 对端点 x =－1, 的收敛半径及收敛域. 解: 对端点 x = 1, 收敛; 级数为 发散 . 故收敛域为 级数为交错级数 解: (1) 所以收敛域为 (2) 所以级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定: 0 ! = 1 的收敛半径 . 解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 比值审敛法求收敛半径. 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 故直接由 的收敛域. 解: 令 级数变为 当 t = 2 时, 级数为 此级数发散; 当 t = – 2 时, 级数为 此级数条件收敛; 因此级数的收敛域为 故原级数的收敛域为 即 定理3. 设幂级数 及 的收敛半径分别为 令 则有下列四则运