浙江师范大学《高等数学》D9_7方向导数与梯度.pptVIP

定理: 例2. 求函数 2. 梯度的几何意义 备用题 1. 2. 函数 高等数学 浙江师范大学数理与信息工程学院 第九章 第七节 一、方向导数 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度 引言 偏导数:反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。 方向导数:反映函数在指定方向上的变化率。 讨论函数沿任一指定方向的变化率的问题 一、方向导数 定义： 若函数 则称 为函数在点 P0 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 记作 则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P0 可微 , 得 故 特别: ? 当 l 与 x 轴同向 ? 当 l 与 x 轴反向 对于二元函数 为?, ? ) 的方向导数为 向角 对于三元函数 为 ) 的方向导数为 向角 例1. 求函数 在点 P(1, 0) 沿从点向P到 Q（2，-1）的方向的方向导数 . 解:向量 PQ =(1，-1)的单位向量为 在点(1,1,2)沿方向l的方向 导数，其中l的方向角分别为60度、45度、60度. 解: 与l同向的单位向量 因为函数可微分，且 由此，得 二、梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向：f 变化率最大的方向 模 : f 的最大变化率之值 方向导数取最大值： 1. 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 记作 (gradient), 在点 处的梯度 说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影: 向量 其中 称为向量微分算子或 Nabla算子. ( 为方向l 上的单位向量) 说明: 函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系: （1）当θ=0，即方向el与梯度gradf方向相同时，函数增加最快.此时函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度的模. （2）当θ=π，即方向el与梯度gradf方向相反时，函数减少最快.此时函数在这个方向的方向导数达到最小值. （3）当θ=π/2，即方向el与梯度gradf方向正交时，函数的变化率为0. 称为函数 f 的等值线或等高线 . 则L*上点P 处的法向量为 即函数在点P的梯度垂直于该点等值线, 并指向函数增大的方向. 函数f在点P的梯度方向就是等值线在这点的法线方向n. 推广到三元函数 为f的等值面. 则函数f在点(x0,y0,z0)的梯度的方向就是 其上点 P 处的法向量为 称 等值面在这点的法线方向n, 梯度的模就是函数沿这个法线方向的方向导数. 设函数 在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0（x0,y0,z0），都可以定出一个向量 这向量称为函数f在点P0（x0,y0,z0）的梯度，记作gradf或 三元函数在一点的梯度，是这样一个向量，它的方向是函数在这点方向导数取得最大值的方向；它的模等于方向导数的最大值. 等高线图举例 这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图, 带 阴影的等高线图中, 亮度越大 对应曲面上点的位置越高 等高线图 带阴影的等高线图 例3. 求 解: 例4. 设函数 解: (1) 点P处切平面的法向量为 在点 P(1,1,1) 处的切平面方程. 故所求切平面方程为 即 (2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数. 求等值面 (2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为 沿此方向的方向导数为 思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ? 注意: 对三元函数, 与 垂直的方向 有无穷多 ) 0 , 1 , 2 ( = P z z y y y z x P f n ) ln , , 2 ( ) ( 1 - = ? = 3. 梯度的基本运算公式 例5. 证: 试证 处矢径 r 的模 , 三、梯度的物理意义 函数 (物理量的分布) 数量场 (数量函数f(M)) 场 向量场(矢量函数，向量值函数F(M)) 如: 温度场, 电势场等 如: 力场,速度场等 对于空间区域G内的任一点M， 可微函数 梯度场 (向量场F(M)的一个势函数) (势场) 注意: 任意一个向量场不一定是梯度场. 若向量场F(M)是某个数量函数f(M)的梯度，则称 因为它不一定是某个数量函数的梯度. (向量场F(M)为势场) 例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点 试证 证: 利用例5的结果 这说明场强: 处所产生的电势为 垂直于等势面, 且指向电势减少的方向. 内容小结 1. 方向导数 ? 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 的方向导数为 ? 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向 l (方向角为 2. 梯度 ? 三元函数 在点 处