高等数学电子教案（高教出版社高职高专）第二节 平面图形的面积.pptVIP

* 一、直角坐标系中的平面图形的面积 第六章　定积分的应用 第二节　平面图形的面积 二、极坐标系中平面图形的面积 一、直角坐标系中的平面图形的面积 如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负， 那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高， dx 为底的矩形面积， dA= | f (x) |dx . 于是，总有 x y f (x) a O x+dx x b 即 　　例 1　求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积． 解　由上述公式得 　　也可以先画出 y = x3 与直线 x = - 1， x = 2 及 x 轴所围成的平面图形，如图所示， 就不必用公式了. y = x3 y x 2 O -1 则由定积分的几何意义知 由两条曲线 y = f (x)、 y = g (x) 与两条直线 x = a， x = b 所围成的平面图形的面积 y x a b O x y = f (x) x+dx y = g(x) 例 2　求 y = sinx， y = cos x， 解　由上述公式知 所围成的平面图形的面积. 　　也可以先作出该平面图形的草图， 如图， 就不必用公式了. 则直接可得 y = cos x x O y = sinx 1 y 　　例 3　求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x – 4 所围成的平面图形的面积. 解　作草图，如图， 求抛物线与直线的交点， 即解方程组 得交点 A (2, - 2) 和 B (8, 4). x A B -2 4 y y = x-4 y2 = 2x (8,4) (2,-2) 于是 如果选择 x 为积分变量， 那么它的表达式就比上式复杂. 　　如果选择 y 作积分变量，y ? [- 2, 4]， x y A B (8,4) (2,-2) -2 4 y y = x-4 y2 = 2x y + dy 任取一个子区间 [ y, y + dy ] ? [- 2, 4]， 则在 [ y, y + dy] 上的面积微元是 　　例 4　求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其中 a 0，b 0. 　　解　因为图形关于 x 轴、y 轴对称， 　　　 所以椭圆面积是它在第一象限部分的面积的四倍， 把 x = a cos t，y = b sin t　代入上述积分式中， 上、下限也要相应地变换 (满足积分变量 t ). 由定积分的换元公式得 即 x y O 二、极坐标系中平面图形的面积 由曲线 r = r(? ) 及两条半直线 ? = a， ? = b (a b) 所围成的图形称为曲边扇形. 求曲边扇形的面积 A， 积分变量为 ?，? ?[a , b ]， 下面应用微元法找面积 A 的微元 dA， 　　　　　　　　　　 任取一个子区间[? , ? + d? ] ? [a , b ]， 用 ? 处的极径 r(? ) 为半径，以 d? 为 圆心角的圆扇形的面积作为面积微元， 如图中斜线部分的面积. 即 d? ? 于是 b a r = r (? ) O x 　　例 5　求心形线 r = a(1 + cosq ) 所围成的图形的面积 (a 0) . 解　作出它的草图. r = x(1 + cosq ) 2a x 得 由上述公式，再利用图形的对称性， 　　例 6　求由两条曲线 r = 3cosq 和 r = 1+ cosq 所围成的公共部分的面积. 　　解　作出它的草图， 得两曲线的交点