自控知识要点与习题解析-自控原理4.docVIP

四．根轨迹法 反馈系统的稳定性由系统的闭环极点确定。 4-1 根轨迹法的基本概念 根轨迹概念 根轨迹法：根据参数变化，研究系统闭环极点变化轨迹的一种图解方法。即在参数变化时图解特征方程。 近似作图；重要区域，如与虚轴的交点、与实轴的交点等，根轨迹要准确；依据根轨迹图，可以确定合适的系统参数，为设计控制器提供依据。 例图4-1，研究系统的开环增益的变化， 对闭环极点的影响。 开环传递函数，闭环传递函数， 特征方程，根轨迹方程，。 该例的解析分析为，。参见图4-2。 开环极点X，开环零点O；根轨迹上的箭头表示参数增大的方向。 根轨迹与系统性能 以图4-2为例， 稳定性： 根轨迹始终都处于S平面左半部，表明无论参数取多大的值，闭环系统稳定；若在参数的某些取值范围，有根轨迹段(闭环极点)处于S平面右半部，则闭环系统在该参数范围不稳定。根轨迹与虚轴的交点处的参数值，为参数临界值。 稳态性能：在研究开环增益对闭环极点作用时，据在原点处的开环极点个数就可以知道系统的误差型别。 动态性能：从根轨迹上的共轭复数极点，能够知道该振荡模态的阻尼系数，对高阶系统的动态性能有粗略估计。 根轨迹方程 根轨迹方程实际上是便于应用规则绘制根轨迹图的标准形式的特征方程。 例 已知负反馈开环传递函数： ；根轨迹方程。 —变化参数；需要知道开环零点和开环极点。 例 已知负反馈开环传递函数：； 研究参数对系统闭环极点的作用。 特征方程；根轨迹方程，。 例已知负反馈开环传递函数：； 研究参数对系统闭环极点的作用。 特征方程；根轨迹方程，。 根轨迹方程(180o)等式右边为-1(0o,+1)；分母的阶次大于等于分子的阶次；变化的参数以规范形式出现在分子上。 幅值条件：；相角条件：。 复平面S上的一点处于根轨迹上，必须满足根轨迹方程；幅值条件：幅值等于1，由于是变化的，幅值条件总能满足；相角条件：相角应等于180o(或0o)。绘制根轨迹时，依据的条件是相角条件。 根轨迹法中常用术语 根轨迹； 根轨迹的起点和终点；(起点为开环极点，终点为开环零点或无穷远处) 根轨迹的分支数；(等于开环极点的个数，两条根轨迹不相交) 根轨迹的分离点与汇合点。(闭环重极点，重合点) 4-2 根轨迹绘制的基本规则(180O) 遵循一些作图规则，能够方便地绘制近似的根轨迹图形。根据系统的方框图，列写系统的特征方程，再根据变化的参数写出规范的根轨迹方程。 绘制根轨迹的基本规则 规则1：根轨迹的起点和终点；根轨迹始于开环极点，终止于开环零点或无穷远处；证明见P141的式(4-11)及其变换形式。 规则2：根轨迹的分支数对称性和连续性；分支数与开环极点个数相等；根轨迹关于实轴对称；根轨迹是连续的。利用对称性，只需认真绘制(计算)一半根轨迹另一半对称画出。 规则3：根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角)；在开环极点数大于开环零点数时，有条渐近线，表示终止于无穷远处的根轨迹分支所渐近的直线。这些渐近线与实轴相交于同一点，与实轴的夹角满足相角条件。 简要说明如下：对于S平面上无穷远处的闭环极点来说，系统的开环极点和开环零点，近似重叠在一点，又考虑到极点与零点对相角的作用相反，即等效于个开环极点重叠在一起，则有 ；，。 注：只有在时，需要计算渐近线与实轴的交点和夹角。 规则4：根轨迹在实轴上的分布；实轴上的一点在根轨迹上的充要条件是，该点右侧实开环极点和实开环零点的总数为奇数。 规则5：根轨迹与实轴的交点；交点为重极点，满足方程 ，； 例4-1 负反馈系统的开环传递函数为，。 * ，，，；； * 两条渐近线，，； * 实轴上的根轨迹，，； * 与实轴的交点，， ，； (试探法计算实数交点) 例4-2负反馈系统的开环传递函数为 ，，； * ，；； * 实轴上的根轨迹，； * 与实轴的交点，， ，；(舍去) 注：具有一个开环零点的二阶根轨迹方程，实轴外的根轨迹是圆周的一部分。圆心为开环零点。 规则6：根轨迹的起始角和终止角(开环极点的出射角和开环零点的入射角) 由相角条件导出； ； 记为 ； 同理有 。 例4-3负反馈系统的开环传递函数为 ，， ，；； * 实轴上的根轨迹，； * 与实轴的交点， ，， * 。 。 规则7：根轨迹与虚轴的交点；即虚轴上的点，满足特征(根轨迹)方程。由实部和虚部方程解出交点和。 例4-4 负反馈系统的开环传递函数为 *，，；；*渐近线，；； *实轴上的根轨迹，；*与实轴交点，，，。 * 起始角； * 与虚轴交点， Re: ；Im：；，； 根轨迹图见P151图4-13。 规则8：闭环极点之和，在的条件下，闭环极点之和与开环极点之和相等。即随着增大，一部分极点向左移动时，另一部分极点向右移动。 闭环极点的确定 据多项式系数与多项式零点的关系，在已知部分极点时，可以求出剩余极点