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11 非齐次边界条件 边界条件齐次化的方法 齐次化定解问题 齐次化函数的任意性 非齐次边条件的简单例子 对齐次化定解问题分离变量 按齐次定解问题的本征函数展开 非齐次项按齐次定解问题的本征函数展开 展开系数满足的微分方程 方程与边界条件同时齐次化 同时齐次化的齐次化函数 * 非齐次边界条件 参考章节：14.6 基本练习：----- 附加练习：----- 为了能够对偏微分方程进行分离变量，齐次边界条件是必须的。 如果问题的边界条件是非齐次的，就必须首先将边界条件齐次化。 考虑如下波动方程的定解问题： 将边界条件齐次化的方法是把问题的解写成 选择一个适当的函数(不是特解) 把解的形式代入原来的定解问题中： 原来的定解问题就变成新的定解问题： 变成非齐次方程 边界条件已经齐次化 初条件变成非齐次的 这是一个类似于受迫振动的定解问题。 从齐次化函数的特点可以看出，它的选择有一定的任意性。 把时间看作参数，考虑齐次化函数对位置的变化关系。 每一条曲线都代表一个满足给定条件的函数。 选择线性函数当然最简单： 选择不同的齐次化函数，导出的齐次化定解问题也不同，其解就不一样。 解的唯一性则保证原来的定解问题并不改变。 考虑一个简单的定解问题： 把问题的解写成 选择线性齐次化函数： 先求解相应的齐次定解问题的本征函数： 从本征值问题的形式立刻可知： 得到齐次问题的本征函数后，将非齐次问题的解和非齐次项按这套本征函数展开。 最后求解得到的常微分方程。 请推导这个初条件 在某些特殊情形下，选择适当的齐次化函数，有可能使方程和边界条件同时齐次化。 考虑如下波动方程的定解问题： 边界条件的形式显示，齐次化函数可以写成： 这正是两端固定的弦的自由振动问题 *
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