《数学物理方法教学课件》解析函数的局域展开.pptVIP

25 解析函数的局域展开 泰勒展开前的准备 泰勒展开 泰勒展开的性质 基本初等函数的泰勒展开 级数相乘法求泰勒展开 待定系数法求泰勒展开 待定系数法求泰勒展开之系数比较 多值函数的泰勒展开 无穷远处的泰勒展开 解析函数的零点 洛朗展开 洛朗展开的正幂项 洛朗展开的负幂项 洛朗展开的实际操作 待定系数法求洛朗展开 待定系数法求洛朗展开之系数比较 无穷远处的洛朗展开 奇点的分类 可去奇点 极点 本性奇点 无穷远点的奇异性 解析延拓 可去奇点 * 解析函数的局域展开 参考章节：5.1~5.7 基本练习：p66:1,4,6 附加练习：p66:2,7 一个幂级数在收敛圆内代表一个解析函数。 解析函数也可以在某点附近展开成幂级数。 考虑一个以a点为圆心的圆C，函数 在此区域及边界上解析。 柯西积分公式 在圆内小于1 这个级数在圆内一致收敛，可以逐项积分。 解析函数的泰勒展开 如果b是离a最近的奇点，幂级数的收敛半径： 解析函数的奇点完全决定了其泰勒展开的收敛半径。 在原点的邻域展开时， 解析函数在某点上的展开是唯一的。 如果有两个在同一点上展开的级数相等，它们的展开系数必定相等。 不一定用求导数的方法求系数，能拼凑更好。 复变函数的泰勒展开与实变函数的形式相同。 最基本的几个初等函数，其展开式与相应的实变函数的展开式在形式上完全相同： 请推导正弦函数、双曲正余弦函数的泰勒展开。 有些函数可以利用级数相乘求泰勒展开： 等比数列的求和公式： 有些函数还可以利用待定系数法求泰勒展开： 请推导双曲正切函数的泰勒展开。 对于多值函数，在适当规定单值分枝后，就可以象单值函数一样做泰勒展开。 普遍二项式展开系数 如果函数在无穷远点解析，就先做变换 z =1/t，然后将变换后的函数在 t = 0 处做泰勒展开。 由于函数在 t = 0 处解析，其展开式必定是： 由此得到函数在无穷远点的泰勒展开： 在无穷远点的泰勒展开没有正幂项。 考虑解析函数的泰勒展开 如果不为零的最低阶项是 也就是 则称a点是函数的m阶零点，它具有这样的特点： 解析函数的零点都是孤立的。 一个函数有时还需要在奇点附近展开成幂级数，这时将得到函数的洛朗展开。 考察环形区域内的解析函数。将柯西积分公式应用于其中： 洛朗展开 函数在某个环域内的洛朗展开是唯一的。 求洛朗展开一般不直接用公式求系数，而是利用展开的唯一性，引用其他方法得到的结果。 待定系数法也可以用来求洛朗展开： 函数在原点附近的行为决定了指标的取值范围。 请推导双曲余切函数的洛朗展开。 如果无穷远点是函数的奇点，而函数在无穷远点的空心邻域内解析，就先做变换 z =1/t，然后将变换后的函数在 t = 0 处做洛朗展开。 由于 t = 0 是函数的奇点，其展开式必定是： 由此得到函数在无穷远点的泰勒展开： 与原点处的展开形式相同，但收敛范围不一样。 如果展开式没有负幂项，则称该奇点为函数的可去奇点 如果展开式只包含有限个负幂项，则称该点为函数的极点。 如果展开式含有无穷个负幂项，则称该点为函数的本性奇点。 由于在可去奇点处展开的级数没有负幂项，它在奇点处也是收敛的： 如果定义 ，则函数在奇点处解析 原点是上述两个函数的可去奇点。 如果级数中不为零的最高阶负幂项是 则 b 点称为函数的 m 阶极点: 在 b 点的邻域内解析，并且 b 点必定是 的 m 阶零点。 原点是本性奇点 当自变量沿正实轴趋于零时： 当自变量沿负实轴趋于零时： t=0是奇点 奇点已去掉 无穷远点是可去奇点 t=0，或者说无穷远是二阶极点 t=0，即无穷远是本性奇点 *