《数学物理方法教学课件》常微分方程的级数解.pptVIP

30 * 30 * 常微分方程的级数解 常微分方程的级数解 参考章节：6.1~6.3 基本练习：p83:2,4,5 附加练习：p83:1,3 * 30 * 二阶线性常微分方程 二阶线性齐次常微分方程的标准形式： 如果两个系数在某点都是解析的，该点就叫做方程的常点； 如果至少有一个系数在某点不解析，该点就叫做方程的奇点。 对于无穷远点，必须作变换 ，再考察 点的特性再做出判断。 * 30 * 无穷远点的解析性 这是变换的详细推导过程： * 30 * 勒让德方程的解析性 考察勒让德方程： 奇点： * 30 * 超几何方程的解析性 再看超几何方程： 奇点： * 30 * 级数展开法求解常微分方程 如果常微分方程 的两个系数在圆 内单值解析，则在圆内以下初值问题 有唯一的解，它在这个圆内单值解析。 于是，可以将方程的解在初值点的这个邻域圆内展开成泰勒级数： 代入初值条件中： 由初条件得到两个基本系数 再代入微分方程中，通过比较就可以得到各个系数之间的递推关系。 * 30 * 勒让德方程的级数解 考察勒让德方程在原点(常点)邻域内的级数解： * 30 * 系数的递推关系 等式成立的条件是大括号里的系数恒等于零： 所有系数都可以通过递推关系确定。 只要给定初条件，就能唯一确定方程的解。 * 30 * 偶幂系数 * 30 * 简化偶幂系数 * 30 * 奇幂系数 * 30 * 简化奇幂系数 由此可见，奇幂项和偶幂项的系数是独立的。 * 30 * 勒让德方程的通解 从递推关系看出，奇幂项和偶幂项完全独立， 将级数分解成奇幂项和偶幂项之和： 这样，任意给定一组初条件，就可以得出方程的一个特解。而上式正是方程的通解。 利用级数解法可以得到方程在不同区域的解，它们可以互为解析延拓。 也可以从方程在某个区域的解出发，通过解析延拓得出方程在其他区域的解。 * 30 * 奇点邻域的线性无关解 考察二阶线性齐次常微分方程： 奇点邻域内的解有可能是多值函数，方程的奇点有可能是解的奇点，还有可能是枝点。 一般情况下，两个级数都有无穷多个正负幂项，系数之间的递推关系将非常复杂。 * 30 * 奇点邻域的正则解 如果解式只包含有限个负幂项，那么，总可以调整式子的结构，使级数部分没有负幂项： 其中 或 g 不等于零。 这种形式的解叫做正则解。这样的奇点叫做正则奇点。级数前的幂次是正则解的指标。 对无穷远点，也是通过变换 再做判断。 * 30 * 勒让德方程的正则性 考察勒让德方程： 奇点： 三个点都是正则奇点。 * 30 * 超几何方程的正则性 再看超几何方程： 奇点： 用同样的方法得到三个点都是正则奇点。 * 30 * 正则奇点邻域求解方法 原则上说，在正则奇点的邻域求解微分方程时，要将两个正则解代入微分方程中，并将两个系数做洛朗展开，通过比较求出系数的递推关系。 如果 g = 0 ，则两个解形式相同。因此可以先用第一个解做试探性求解，如果能解出两个不同的指标，就得到两个线性无关的解。 如果只能得出一个指标，还必须将第二个级数代入微分方程再进行求解。 以下给出求解的过程，假定原点是方程的正则奇点，微分方程的形式取标准形式： * 30 * 正则奇点邻域求解准备 由于原点是正则奇点，两个系数的洛朗展开必定是这样的： 假设解是这样的： * 30 * 这是对级数方程的整理过程。 对级数方程做整理 * 30 * 由此得到微分方程的级数展开： 指标方程 指标方程 指标方程只涉及两个展开系数，可以这样得到： 如果能够解出两个指标，并且： 整数 则规定： * 30 * 系数的递推关系 对两个指标分别比较其余幂次的系数： 递推关系的一般表达式 反复利用递推关系就得到系数的普遍表达式，从而得到微分方程的两个线性无关解。 * 30 * 指标差等于整数的情况 如果指标方程给出的两个解满足 第二解的系数 就满足如下递推关系 指标方程 其中 可取任意值，不妨取为 由其余部分求出第二解的展开系数。 如果递推关系中的剩余部分无解，则微分方程的第二解必定包含对数项。 最后，如果指标方程只有一个解，则微分方程的第二解也必定包含对数项。 * 30 * 勒让德方程的正则解 考察勒让德方程在 z = 1 邻域内的解： z = 1 是方程的正则奇点，解必定是这样的 * 30 * 正则解的级数展开 * 30 * 正则解级数的整理 * 30 * 正则解系数的递推关系 第一项就是指标方程，它给出 级数部分给出系数的递推关系： 指标方程的解显示，第二解必定含有对数项。 将第二解代入微分方程中，按照级数解法的标准步骤定出对数项和级数项的系数。 …… * 30 * 正则解的指标方程 也可以先求出勒让德方程的指标： 将这个级数代入微分方程，也能给出系数之间的递推关系。 请按这个