《数学物理方法教学课件》orthogonal_coordinates.pptVIP

27 正交曲面坐标系 正交曲面坐标系的定义 正交曲面坐标的独立性 两点之间的距离 柱坐标系和球坐标系 拉普拉斯算符 平面极坐标系 补充的限制条件 平面极坐标系中的定解问题 平面极坐标系中分离变量 对角度部分求解 本征函数集 对径向部分求解 用特解叠加出一般解 确定叠加系数 正弦项的叠加系数 正弦项的叠加系数 余弦项的叠加系数 本征值的简并 简并情形下的正交本征函数集 简并情形下的正交性 柱坐标系中的亥姆霍兹方程 在柱坐标系中分离变量 柱坐标系中的分离变量微分方程 球坐标系中的亥姆霍兹方程 在球坐标系中分离变量 球坐标系中的分离变量微分方程 * 正交曲面坐标系 参考章节：15.1,4,5,6 基本练习：p224:3 附加练习：p224:6 如果所讨论的空间区域是圆柱形或球形的，则边界面与直角坐标系的坐标面不可能完全重合。 这时，即使边条件是齐次的，也无法分离变量。 这就需要选择与区域的形状对应的坐标系。 假定这样的坐标系的三个坐标与直角坐标系的三个坐标有如下关系： 这个坐标系的坐标面是如下三组曲面： 柱坐标系： 球坐标系： 如果通过空间中任意一点的三个坐标面总是相互垂直的，这个坐标系就叫做正交曲面坐标系。 直角坐标系就是一个正交曲面坐标系。 坐标系的三个坐标必须是独立的。 这就要求它们对直角坐标系的三个坐标的雅可比行列式不等于零： 考察空间中相邻两点之间的距离： 由 构成的矩阵叫做空间的度规。 如果度规对角，则坐标系是正交的： 柱坐标系： 是对角的。 球坐标系： 在柱坐标系中，拉普拉斯算符取这样的形式： z = 0给出平面极坐标系的结果。 在球坐标系中，拉普拉斯算符取这样的形式： 这两个算符在近代物理学中频繁地使用。 圆柱形区域的特殊情形是圆形区域，在这种情况下应该选择平面极坐标系。 考察圆形区域中的稳定场分布问题： 在平面极坐标系中，定解问题被改写成这样： 在平面极坐标系中，拉普拉斯算符在原点无效，改写后的方程与原方程并不完全等价。 需要对原点补充适当的限制条件。 原定解问题是齐次的，物理上这相当于无源。 因此，场在原点处应当是有界的： 数学上看，当角度转过一周时函数值应该还原， 因此还需要补充周期条件： 转换到平面极坐标系后，完整的定解问题变为： 现在可以对定解问题分离变量了。 假定方程的解是这样的： 关于角度的方程与周期边界条件构成本征值问题。 最简单的解是 先求解角度部分的方程： 这是关于 A和 B的线性代数方程组，有非零解的条件是系数行列式等于零： 行列式方程的展开式是： 由此得到本征值： 本征值方程相应的非零解是：A和B可以取不全等于零的任意数值。 于是，对应于一个本征值，有两个本征函数： 将最简单的那个非零解合并到这里，可以把本征值的取值范围统一写成 接着求解径向部分的方程： 为了求解这个微分方程，对自变量做变换 由此得到了满足齐次方程和齐次边界条件的全部特解 将所有特解叠加起来，就得到原定解问题在周期条件下的一般解： 于是，一般解简化为这样： 利用本征函数的正交性可以确定各个叠加系数： 正弦项的叠加系数： 余弦项的叠加系数： 在求解上述本征值问题时发现，对应于一个本征值，有两个线性无关的本征函数： 这种对应于一个本征值有不止一个线性无关的本征函数的现象叫做简并，又叫退化。 如果对应于一个本征值有 n个本征函数，则称本征值问题是 n重简并的，或者说简并度为 n。 对于二阶常微分方程的本征值问题，最多只能说二重简并的。 并且，如果边界条件属于前述的三类，则本征值问题一定是非简并的。 对于简并问题，本征函数的选取并不唯一，对应于同一个本征值的本征函数也不一定正交。 但是，一定可以将原来的本征函数通过适当的重新组合，使新的本征函数相互正交。 比如对上述本征函数做指数组合： 或者将包括本征值等于零的全部本征值和本征函数简单地统一写成： 新的本征函数集按以下方式正交化： 利用这个正交化的结果得到，同一本征值的两个本征函数也是正交的： 需要注意的是现在的本征函数是复数，正交关系中要将一个本征函数取复共轭。 现在考虑亥姆霍兹方程： 在柱坐标系中： 分离变量的原则是将特解分解成单变量函数的乘积： 右边只与一个变量有关，分离出来构成一个方程。 右边分离出来也构成一个方程。 由此得到柱坐标系中亥姆霍兹方程的三个分离变量微分方程： 这是常系数常微分方程，给定边界条件后构成本征值问题。 这个常系数常微分方程与周期边条件一起构成本征值问题。 最后一个是变系数常微分方程，需要补充有界条件才能最终求出有物理意义的解。 在球坐标系中，亥姆霍兹方程的形式变为： *