《数学物理方法教学课件》复变函数.pptVIP

16 复变函数 复数 复数的性质 复数的运算 复数的几何表示—直角坐标系 复数的几何表示—极坐标系 极坐标表示法下的乘除法运算 复数的指数表示法 复数序列 区域 边界 区域的表示方法 区域表示方法思考题 复变函数 复变函数的极限 无穷远点 * 复变函数 参考章节：1.1~1.5 基本练习：p7:1,2 附加练习：p7:3 一对有序实数(a,b)如果满足如下运算规则： 加法： 乘法： 这对有序实数就定义了一个复数： 复数的实部： 复数的虚部： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，则这两个复数相等。 复数是不能比较大小的。 (1,0)=1，具有和实数1相同的运算效果。 (0,1)=i，这是虚单位的定义。 由此给出复数的另一种写法： (0,0)=0，具有和实数0相同的运算效果。 复数共轭： 加法与乘法有相应的逆运算： 减法 除法 复数的四则运算满足交换律、结合律和分配律，并且还满足如下规则： 作平面直角坐标系 横轴对应实部，纵轴对应虚部，构成复平面。 复数与复平面上的点有一一对应的关系。 可以用复平面上的自由矢量表示复数。 这种标记方式显示，复数的加减法运算满足平行四边形法则或三角形法则。 还可用极坐标表示复数。 模 辐角 复数0的辐角不确定。 由三角函数具有周期性导致复数的辐角并不唯一。这叫辐角的多值性。 半开区间 之间的辐角值叫做辐角的主值。 在极坐标表示法下，乘除运算很简单： 定义复指数： 性质与实指数相同： 复数可以表示成： 在指数表示法下，复数的乘法与除法运算更加简单： 按一定顺序排列的一组复数组成复数序列： 一个复数序列实际上就是两个实数序列的有序组合，因此，实数序列的概念可以推广到复数序列。 这些概念包括： 聚点或极限点： 有界序列和无界序列： 极限： 序列收敛的充要条件： 设在复平面上存在一个由复数组成的点集， 如果以某点做圆心作圆，只要半径足够小，圆内的点都属于点集，则此点是点集的内点。 用折线连结点集中任意两点，如果折线上的点都是内点，则点集是连通的。 如果一个点集全部由内点组成，并且是连通的，则该点集构成一个区域。 如果所作的圆内的点都不属于点集，则该点是点集的外点。 如果所作的圆无论半径多小，圆内总是既有内点也有外点，则此点是点集的边界点。 全体边界点构成边界。 如果沿着边界走，区域保持在左边，则走向是边界的正向。 区域G加上边界C构成闭区域。 通常用不等式表示一些规则的区域。 请用不等式表示以下区域。 设在复平面上有一个区域G, 如果对G内的每一个复数 ，都有一个或多个复数 与之对应，则称 是 的复变函数： 它的实部和虚部都是二元实变函数。 G是这个复变函数的定义域。 一个复变函数是两个二元实变函数的有序组合。 函数在该点连续 如果函数在G内每一点都连续，就称为在G内连续。 有关复变函数的极限与连续的性质，与实变函数的情况类似。 *