《数学物理方法教学课件》setup_equation.pptVIP

16 数学物理方程 数学物理方程的特征 一段柔软的轻弦 弦振动的力学分析 弦振动的力学方程 振动与波的关系 细杆振动的力学分析 波动方程的一般形式 热传递定律 热能在均匀介质内的积累 无热源时的热传递方程 有热源时的热传递方程 热能在不均匀介质内的积累 不均匀介质中的热传递方程 稳定的温度分布 电磁理论中的稳定分布 * 数学物理方程 参考章节：12.1~12.4 基本练习：----- 附加练习：----- 物理学和工程技术中产生的微分方程大多数是二阶线性偏微分方程。 这些偏微分方程分别属于三种类型：波动方程、输运方程和稳定场方程。 数学上这大致对应三种类型的偏微分方程：双曲型、抛物型和椭圆型方程。 求解数学物理方程的方法有：分离变量法、格林函数法、积分变换法、保角变换法以及几种近似方法。 对具体问题，还要考虑被研究对象所处的环境及历史状况，即边界条件和初始条件。 振动沿着弦传播是一种典型的波动现象。 在放松的条件下把一根弦弯曲成任意形状，如果它都保持静止，这根弦就是柔软的。 将一根柔软的弦绷紧，相邻小段之间就要产生拉力，这种拉力叫做张力。张力沿弦的切线方向。 一般来说，与张力相比，弦的重量可以忽略。因此，可以将真实的弦抽象成没有重量的弦。 将这根弦用某种方法激发，使它沿垂直于弦的方向做微小振动。 由于张力的作用，某一小段弦的振动必定带动邻近的一小段，由此形成波。 取弦静止时所在的方向为 x 轴。 用 u(x,t) 表示弦上各点的横向位置随时间的变化。 将整根弦分割成许多无穷短的小段，每一小段可抽象成一个点。 考察(x , x + dx)上的一小段弦。 由于没有重量而且柔软，因此只受切向力。 只考虑微振动 这正是波动方程的标准形式，a是波速。 假设弦受到横向外力，请推导波动方程。 一个粒子的位置只是时间的函数，它的运动方程是以时间为自变量的常微分方程。 弦的位置是时间和坐标的函数，它的运动方程是以两个变量为自变量的偏微分方程。 这是弦上彼此有联系的粒子的运动方程。 粒子间的联系反映在对空间的二阶导数上。 弦没有纵向振动显示张力与位置无关， 对微振动，弦长不变，张力与时间无关， 如果弦又是均匀的，质量密度是常数。 由此得出波速是一个常数。 考虑一根均匀细杆的纵向振动。 用 u(x,t) 表示杆上各点的纵向位置随时间的变化。 将整根杆分割成许多无穷短的小段，每一小段可抽象成一个点。 考察(x , x + dx)上的一小段。 在理想状况下，这一段只受弹性应力作用。 由此将产生纵向位移和纵向形(应)变。 根据胡克定律，应力与应变成正比： 由此得到均匀细杆的纵向振动方程： 形式上与弦的横向振动方程一样。 更一般地，三维空间中的波动方程是： 考虑一块连续介质，用u(x, y, z, t)表示介质内任意点在任意时刻的温度。如果相邻两点之间有温差，就会导致热能在两点之间传递。 如果温度变化不大，单位时间内通过单位面积截面的热能与温度在垂直于该截面方向的变化率成正比： 这正是热传递的傅里叶定律： q叫做热流密度。k叫做导热率，它与材料和温度有关，当温度变化不大时近似等于常数。 负号表示热能由高温流向低温。 考虑一块均匀介质内部的小长方体，取坐标轴沿长方体的三条相邻的边。 从 x 方向流入长方体内的热能 对另外两个方向的讨论得到相似的结果。 如果长方体内没有其他热能的来源或消耗，根据能量守恒定律，长方体内热能的净增加等于温度升高所需要的热能： 定义扩散率 由此得到无热源时的热传递方程： 如果介质内存在热源，单位时间内在单位体积中产生或消耗的热能为 定义扩散率 则要加上热源对热能的贡献： 由此得到有热源时的热传递方程： 如果所研究的介质不均匀，则热导率是空间位置的函数。 从 x 方向流入长方体内的热能 对另外两个方向的讨论得到相似的结果。 热传递方程变成这样： 定义热流强度 得到热流连续性方程： 在均匀介质的情况下，如果温度不随时间变化，即温度分布达到稳定状态： 温度的分布满足泊松方程： 如果介质内部没有热能的产生或消耗，温度分布满足拉普拉斯方程： 这些都属于稳定的场分布问题。 *