《数学物理方法教学课件》复变积分.pptVIP

16 * 16 * 复变积分 复变积分 参考章节：3.1~3.3,3.5,3.6,p31 基本练习：p34:1,4 附加练习：p34:3,5,6 * 16 * 复变函数的积分 设C是复平面上的曲线，函数 在其上有定义。 将曲线任意分割为n段： 当曲线被无穷分割时，如果以下和式的极限存在， 则称这个极限为 沿曲线C的积分： * 16 * 复变积分与实变积分 一个复变积分是两个实变积分的有序组合。 由实变积分可知，如果C分段光滑， 是C上的连续函数，则复变积分一定存在。 由于复变积分是实变积分的组合，因此，复变积分的性质和积分法则与实变积分的性质和积分法则相似。 * 16 * 复变积分例题 计算函数 分别沿三条曲线的积分。 复变积分的结果与积分路径有关。 * 16 * 解析函数沿闭合路径的积分 考察一个单连通区域中的解析函数。 沿任意闭合曲线对这个函数做积分： 单连通区域的柯西定理 根据柯西定理，单连通区域内的解析函数的复变积分与积分路径无关。 * 16 * 格林公式 实变函数的格林公式： 柯西—黎曼方程 * 16 * 不定积分 如果固定积分的下限，不定积分就是上限的单值解析函数： 它是所研究的解析函数的一个原函数： 一个解析函数沿任意路径积分： * 16 * 复连通区域的路径积分 如果所研究的函数在区域内有奇点，就必须用适当的闭合曲线把它们隔离。 除掉奇点的区域将形成一个复连通区域， 用割线将内外边界连结起来，构成单连通区域， 单值函数沿同一割线两岸的积分值相消。 * 16 * 复连通区域的柯西定理 这就得到了复连通区域的柯西定理： 所有积分路径的走向都沿着逆时针方向。 * 16 * 柯西定理应用实例分析 利用柯西定理可以计算函数沿着包含奇点的闭合路径的积分。 一个简单而重要的例子： 如果积分路径不包围a点，或者 被积函数在积分路径所围区域内解析， 根据柯西定理，积分值等于零； 只需要考虑n0，并且积分路径包围a点的情况。 在这种情况下，以a点为圆心 挖一个半径为 r 的小圆，把 a 点除掉。 * 16 * 柯西定理应用实例计算 利用柯西定理可以得到： 如果 * 16 * 柯西定理应用实例得到的重要结果 如果 由此可以得到一个重要结果， * 16 * 柯西积分公式：特定点 利用刚才的结果考察解析函数的以下积分： 这结果对区域内任意点均成立。 * 16 * 柯西积分公式：任意点 由此得到 柯西积分公式 解析函数在解析区域内任意点的值等于以该点为圆心的任一圆周上的函数值的平均。 均值定理 * 16 * 解析函数的高阶导数 对于区域的内点，在积分路径上 被积函数在区域内处处可导。 可以在积分号下求导数 单值解析函数的任意阶导数均存在。 * 16 * 柯西型积分 考察在一分段光滑曲线上连续的函数 用这个函数构造一个积分： 柯西型积分 这是一个在曲线外的点上解析的函数。 在曲线外的点上，被积函数处处可导： 16