《数学物理方法教学课件》解析函数.pptVIP

16 * 16 * 解析函数 解析函数 参考章节：2.1~2.4 基本练习：p20:1,4,10 附加练习：p20:5,6,13 * 16 * 复变函数的导数 设 是区域G内的单值函数，若在G内某点 处存在极限 则函数在该点可导，称此极限是函数在该点的导数，记为 。 必须注意，当 以任意方式趋于零时，极限值必须相同，极限才会存在。 由这个要求得到函数可导的必要条件。 * 16 * Cauchy-Riemann方程 考虑自变量的两种特殊变化方式： 两个极限值必须相等！ 柯西-黎曼方程 * 16 * 解析函数 如果一个函数在区域G内每一点都可导，它就是G内的解析函数。 由这个定义可知，解析函数在其定义域内处处满足柯西—黎曼方程。 这意味着解析函数的实部和虚部相互关联， 通过积分就可以唯一地确定另一部分。 * 16 * 求解析函数的方法 考虑一个解析函数，它的实部 由此得到虚部的全微分 利用全微分求解原函数有三种方法。 曲线积分法：全微分的积分与路径无关，积分时选取特殊的路径，使积分容易求出； 拼凑法：把全微分的函数式拼凑成全微分的显式，由此自然得出所求的函数； 不定积分法：对偏导数求不定积分。 * 16 * 曲线积分法求解析函数 曲线积分法： 在相差任意可加常数的意义下得到虚部： 拼凑法利用微分法则进行逆向思惟，拼凑出得到该全微分的原函数。这需要你的经验和灵感，没有统一可循的途径。 * 16 * 不定积分法求解析函数 不定积分法： 也可以先对 y 做不定积分，请按照这个方式解决上述问题。 如果一个函数在某点无定义，或者不可导，或者不解析，则称之为函数的奇点。 * 16 * 解析函数的性质：正交曲线族 考察柯西-黎曼方程： 曲线族的法向矢量 曲线族的切向矢量 * 16 * 解析函数的性质：调和函数 对柯西-黎曼方程两边求导数： 解析函数的实部和虚部是调和函数。 在刚才的例子中 是调和函数吗？ * 16 * 初等函数 将实变函数中的初等函数推广到复数域，就得到初等复变函数，它们都是解析函数。 初等复变函数的定义、性质、运算法则和求导公式与实变函数的情况类似。 幂函数： 指数函数： 三角函数： 双曲函数： * 16 * 根式函数 最基本的解析函数是初等函数。 以上给出的初等函数都是单值函数。 然而，它们的反函数却是多值函数。 考虑根式函数： 用极坐标表达式： 由此得到两个函数值： 函数的多值性来源于辐角的多值性。 * 16 * 根式函数的几何图象 用复平面可以形象说明函数多值性的来源。 * 16 * 求根式函数的值 * 16 * 单值分枝的划分 将曲线C 向四面八方扩展，总可以把 a 点包容， 如果扩展是无限的，这样一条曲线也可以看成是绕无穷远点一周，这说明无穷远点也是函数的枝点。 将多值函数划分为若干个单值分枝，限制自变量不得绕枝点转圈。这可以用几何方法表现出来。 规定自变量在割线的上岸具有某个幅角值，就得到多值函数的一个单值分枝。 所有单值分枝构成完整的复函数平面。 * 16 * 二叶黎曼面 还可以这样确定函数值与自变量的对应关系： 这种方法使自变量的变化路线不受限制，可以在不同的单值分枝之间运动。不同单值分枝对应的复平面连结起来构成一个二叶黎曼面。 * 16 * 对数函数 考虑对数函数： 对数函数的多值性还是来源于辐角的多值性。 对应自变量的每个值，有无穷多个函数值。 初等函数中还有反三角函数和一般的幂函数： 它们都是对数函数和根式函数的变形或组合。 16