{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：2.3解三角形的实际应用举例Word版含解析(经典).docxVIP

明目标、知重点　1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正、余弦定理及三角函数的有关知识加以解决.2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的研究、探索习惯.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．1．仰角和俯角：与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示) 2．方位角：一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．4．坡角：坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tan α(i为坡比，α为坡角)．[情境导学]学习数学知识的目的是为了解决现实生活中的问题，事实上现实生活中，也确有很多问题需要应用正、余弦定理来解决，今天我们就来共同探讨这方面的问题．探究点一　测量距离问题例1　自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度(如图)．已知车厢的最大仰角为60°(指车厢AC与水平线夹角)，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95 m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1.40 m，计算BC的长度(结果精确到0.01 m)．思考　例1中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？使用什么定理来求？(写出例题的解题过程)答　这个问题就是在△ABC中，已知AB＝1.95 m，AC＝1.40 m，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′，求BC的长．由于已知两边和它们的夹角，所以可根据余弦定理求出BC.解　如图所示，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40×cos 66°20′≈3.571.∴BC≈1.89(m)．答　顶杠BC约长1.89 m.反思与感悟　解决本例题的关键是读懂题意，并能用数学中的几何图形表示实际问题的模型，本问题由于已知量与未知量都集中在一个三角形中，所以可用余弦定理直接求解．跟踪训练1　如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的距离为(　)A．50 m B．50 m C．25 m D. m答案　A解析　由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理＝，∴AB＝＝＝50(m)．探究点二　测量高度问题例2　如下图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．思考1　通过观察图形，你认为哪些量能够测量出？答　能够测量出的分别是α、β，CD＝a，测角仪器的高h.思考2　你能说出求AB长的一个解题思路吗？答　求AB长的关键是先求AE，在△ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长．思考3　写出例题的解题过程．解　选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是β、α，CD＝a，测角仪器的高是h.那么，在△ACD中，根据正弦定理可得AC＝，AB＝AE＋h＝ACsin α＋h＝＋h.反思与感悟　在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪训练2　某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为______ m．(精确到1 m)答案　811解析　过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD中，由正弦定理，AB＝＝1 000(m)．在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m)．答　山的高度约为811 m.探究点三　与方位角有关的实际问题例3　如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处，某时刻，检测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线