{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：3.2.2一元二次不等式的应用Word版含解析(经典).docxVIP

2.2　一元二次不等式的应用 明目标、知重点　1.掌握一类简单的可化为一元二次不等式的分式不等式的解法.2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用题．1．分式不等式(1)0?f(x)·g(x)0；(2)≤0?；(3)≥a?≥0.2．解分式、高次不等式(穿针引线法)(1)将不等式化为标准形式；一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积．(2)求出各因式为0时的实数根，并在数轴上标出．(3)自最右端上方起，用曲线从右至左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(说明：奇过偶不过)．(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．[情境导学]上一节我们学习了一元二次不等式的解法，理解了三个“二次”间的对应关系，那么它们有哪些应用？这是本节我们要研究的主要内容．探究点一　三个“二次”间对应关系的应用例1　m为何值时，方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解？解　方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，等价于Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m－9≥0.这是关于m的一元二次不等式，按求解程序，可得这个不等式的解集为{m|m≤1或m≥9}．所以，当m≤1或m≥9时，原方程有实数解．反思与感悟　一元二次不等式与一元二次方程是既有区别但又是相互联系的，它们都统一在一元二次函数这个整体中，所以讨论一元二次方程的实数解问题，一定要注重联系一元二次函数与一元二次不等式．跟踪训练1　关于x的一元二次方程kx2＋(k－1)x＋k＝0有两个正实数根，求实数k的取值范围．解　方法一　设f(x)＝kx2＋(k－1)x＋k，由题意，则k满足，即，解得0k≤.方法二　设x1，x2为方程kx2＋(k－1)x＋k＝0的两个正实数根，则，即，解得0k≤.探究点二　分式不等式的解法思考1　求解形如a的分式不等式，能否利用解分式方程的方法去分母呢？为什么？应该怎样解？答　一般不能采取去分母的方法，因为不清楚分母h(x)是否大于0，如果能判断出h(x)大于0或者小于0，完全可以采取去分母的方法．一般解法是移项、通分化成标准型0(0)或≥0(≤0)，再等价成整式不等式来解．思考2　形如0，0，≥0，≤0的分式不等式，等价变形成怎样的整式不等式？答　分别等价变形为f(x)·g(x)0；f(x)·g(x)0；；例2　解下列不等式．(1)≥0；(2)3.解　(1)按商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式(x＋1)(x－3)≥0，但x≠3.解这个不等式，可得x≤－1或x3.即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x3}．(2)不等式3可改写为－30(不等式的右边为0)，即0.仿(1)，可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)0，解得－1x1.所以，原不等式的解集为{x|－1x1}．反思与感悟　分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型0(0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．跟踪训练2　解下列不等式．(1)0；(2)≤1.解　(1)0?(x－3)(x＋2)0?－2x3，∴原不等式的解集为{x|－2x3}．(2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x或x≥4.∴原不等式的解集为.探究点三　简单高次不等式的解法例3　解不等式：(x－1)(x－2)(x－3)0.思考1　不等式对应的函数为f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)的图像与x轴有几个交点？交点把x轴分成几个区间？答　由(x－1)(x－2)(x－3)＝0，得交点坐标为(1,0)，(2,0)，(3,0)；分成的区间为(－∞，1)，(1,2)，(2,3)，(3，＋∞)．思考2　在思考1中的各个区间内，函数值的符号是怎样的？有什么变化规律？答　当x∈(3，＋∞)时，即x3时，由于三个因式(x－1)，(x－2)，(x－3)都是正数，所以f(x)0；在区间(2,3)上，因式(x－1)0，(x－2)0，(x－3)0，所以f(x)0.同理可知其他区间函数值的符号．又函数f(x)的图像是一条不间断的曲线，所以f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化．思考3　如何形象的把函数值的符号变化的规律表示出来？答　思考4　通过以上的思考，你能写出不等式的解集吗？答　不等式的解集为(1,2)∪(3，＋∞)．反思与感悟　上述解不等式的方法可以形象的说成是穿针引线法．解简单的高次不等式时要特别注意偶次方根要“穿而不过”，也就是要“反弹”起来，遵循“奇穿偶回”的原则．跟踪训练3　解不等式：(1)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0；(2)≥2.解　(1)各因式的根分别为0,1，－1，－2，其中1为二重根，－1为三重根．在x轴上标根，并从右上方引曲线可得图∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤－1