{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：3.3.1基本不等式Word版含解析(经典).docxVIP

3．1　基本不等式 明目标、知重点　1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．2．基本不等式(1)如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)我们称≥为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab≤2≤(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；(3)当ab0时，＋≥2；当ab0时，＋≤－2；(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．探究点一　基本不等式的证明思考1　如何证明≥xy，“＝”成立的条件是什么？答　对于任意实数x，y，(x－y)2≥0总是成立的，即x2－2xy＋y2≥0，所以≥xy，当且仅当x＝y时，“＝”成立．思考2　在思考1中，如果x＝，y＝，则由这个不等式可得出怎样的结论？如何用语言表述？分别代替a2＋b2≥2ab中的a，b会得到怎样的不等式？答　得到≥，语言表述为：如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．思考3　不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？答　不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；≤成立的条件是a，b均为正实数．小结　如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．我们称这些不等式为基本不等式．探究点二　基本不等式≥的几何解释问题　如下图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.你能利用这个图形得出基本不等式≥的几何解释吗？思考1　如何用a，b表示PQ、OP的长度？答　由射影定理可知PQ＝.而OP＝AB＝.思考2　通过线段OP与PQ的大小关系，你能得出怎样的不等式？答　半径OP＝，显然，它大于或等于PQ，即≥，其中当且仅当点Q与圆心O重合，即a＝b时，等号成立．小结　基本不等式≥的几何意义是“半径不小于半弦”．在数学中，我们称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．探究点三　基本不等式的应用例1　设a，b均为正数，证明不等式：≥.证明　因a，b均为正数，由基本不等式，可知≥，也即≥，当且仅当a＝b时，等号成立．反思与感悟　在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．跟踪训练1　已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c＋＋.证明　∵a0，b0，c0，∴a＋b≥20，b＋c≥20，c＋a≥20.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c＋＋.例2　已知x、y都是正数．求证：(1)＋≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.证明　(1)∵x，y都是正数，∴0，0，∴＋≥2 ＝2，即＋≥2.当且仅当x＝y时，等号成立．(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥20，x2＋y2≥20，x3＋y3≥20.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3.即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.当且仅当x＝y时，等号成立．反思与感悟　在(1)的证明中把，分别看作基本不等式中的a，b从而能够应用基本不等式；在(2)中三次利用了基本不等式，由于每次应用不等式等号成立的条件相同，所以最终能取到等号．跟踪训练2　已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明　∵a，b，c都是正实数，∴a＋b≥20，b＋c≥20，c＋a≥20.∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.例3　已知a，b，c都是正实数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.证明　∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．反思与感悟　使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立．跟踪训练3　设ba0，且a＋b＝1，则此四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是(　)A．b B．a2＋b2 C．2ab D.答案　A解析　由a＋b＝1，ba0，得1b，0a，∵b－(a2＋b2)＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)0，∴ba2＋b2≥2ab，即b最大．1．已知a0，b0，则＋＋2的最小