{高考必备]高二数学北师大版必修5学案：3.4.3简单线性规划的应用Word版含解析(经典).docxVIP

4．3　简单线性规划的应用 明目标、知重点　1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.2.掌握线性规划实际问题中的常见类型.3.会求一些简单的非线性函数的最值．1．用图解法解线性规划问题的步骤：(1)确定线性约束条件；(2)确定线性目标函数；(3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解．2．在线性规划的实际问题中的题型主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．探究点一　生活实际中的线性规划问题思考　采取什么方法，能比较容易的从已知条件中列出线性约束条件？答　要从题目冗长的文字和繁多的数据中明确目标函数和约束条件是有相当难度的，要解决这个难点关键是通过列表的方法把问题中的已知条件和各种数据进行整理．例1　医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？解　将已知数据列成下表：原料/10 g蛋白质/单位铁质/单位费用/元甲5103乙742设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．由得A(，3)，∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.∴甲种原料×10＝28 (g)，乙种原料3×10＝30 (g)，才能既满足营养，又使费用最省．反思与感悟　解线性规划应用题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线l；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；(3)求值——解有关方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．跟踪训练1　某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．答案　20　24解析　设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，依题意得约束条件为，目标函数为S＝7x＋12y，可行域如图所示，从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的截距最大，S取最大值．解方程组，得A(20,24)，故当x＝20，y＝24时，Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)．例2　某厂生产一种产品，其成本为27元/kg，售价为50元/kg，生产中，每千克产品产生0.3 m3的污水，污水有两种排放方式：方式一：直接排入河流．方式二：经厂内污水处理站处理后排入河流，但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有85%.污水处理站最大处理能力是0.9 m3/h，处理污水的成本是5元/m3.另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是17.6元/m3，且允许该厂排入河流中污水的最大量是0.225 m3/h，那么，该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每时净收益最大？思考　如果设该厂生产的产量为x kg/h，直接排入河流的污水为y m2/h，每小时净收益为z元，如何用x，y表示：(1)污水处理费用？(2)环保部门要征收的排污费？(3)污水处理能力有限？(4)允许排入河流的污水量有限？(5)目标函数？(写出例题的解题过程)答　(1)5(0.3x－y)；(2)17.6[0.15(0.3x－y)＋y]；(3)0≤0.3x－y≤0.9；(4)y＋(1－0.85)(0.3x－y)≤0.225；(5)z＝50x－27x－5(0.3x－y)－17.6[0.15(0.3x－y)＋y]＝20.708x－9.96y.解　根据题意，本问题可归纳为在约束条件下，求目标函数z＝20.708x－9.96y的最大值．作出可行域，如图所示，令z＝0作直线l0：20.708x－9.96y＝0，由图形可以看出，平移直线l0，在可行域中的顶点A处，z取得最大值．解方程组得A(3.3,0.09)．故该厂生产该产品3.3 kg/h，直接排入河流的污水为0.09 m3/h时，可使每小时净收益最大，最大值20.708×3.3－9.96×0.9＝67